previous arrow
next arrow
Slider

Задачи из сборника «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ по математике под редакцией И. В. Ященко», 2020 год. Вариант 6, задача 16

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина гипотенузы AB, H – точка пересечения прямых CM и DK.

а) Докажите, что прямые CM и DK перпендикулярны.

б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника AB равны 60 и 80.

Решение:

\triangle DKC=\triangle ABC по двум катетам;

\angle BAC=KDC=\alpha;

Тогда  \angle CKD=90^{\circ}-\alpha;

\triangle ACM – равнобедренный по свойству медианы прямоугольного треугольника.

\angle HCK=\alpha=\angle ACM

из \triangle HCK: \angle H=90^{\circ}.

б) Пусть AC=60, \, BC=80. Найдём MH.

MH=MC+CH;

MC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{60^2+80^2}=50 (по свойству медианы прямоугольного треугольника)

CH – высота \triangle KDC; DK=AB=100;

S_{\triangle KDC}=\frac{1}{2}CD \cdot CK=\frac{1}{2}CH \cdot DK;

CH=\frac{CD \cdot CK}{DK}=\frac{60 \cdot 80}{100}=48;

MH=50+48=98.