Вариант 6, задача 16 - тренировочные задания ЕГЭ по математике. И. В. Ященко, 2020 год.

На катетах $AC$ и $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ вне треугольника построены квадраты $ACDE$ и $BFKC$ . Точка $M$ – середина гипотенузы $AB$ , $H$ – точка пересечения прямых $CM$ и $DK$ .

а) Докажите, что прямые $CM$ и $DK$ перпендикулярны.

б) Найдите $MH$ , если известно, что катеты треугольника $AB$ равны 60 и 80.

Решение:

$\triangle DKC=\triangle ABC$ по двум катетам;

$\angle BAC=KDC=\alpha$ .

Тогда $\angle CKD=90^{\circ}-\alpha$ ;

$\triangle ACM$ – равнобедренный по свойству медианы прямоугольного треугольника.

$\angle HCK=\alpha=\angle ACM$ ;

из $\triangle HCK$ : $\angle H=90^{\circ}$ .

б) Пусть $AC=60, \, BC=80$ . Найдём $MH$ .

$MH=MC+CH;$

$MC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{60^2+80^2}=50$ (по свойству медианы прямоугольного треугольника);

$CH$ – высота $\triangle KDC$ ; $DK=AB=100$ ;

$S_{\triangle KDC}=\frac{1}{2}CD \cdot CK=\frac{1}{2}CH \cdot DK$ ;

$CH=\frac{CD \cdot CK}{DK}=\frac{60 \cdot 80}{100}=48$ ;

$MH=50+48=98$ .

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задачи из сборника «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ по математике под редакцией И. В. Ященко», 2020 год. Вариант 6, задача 16» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.09.2023

Задачи из сборника «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ по математике под редакцией И. В. Ященко», 2020 год. Вариант 6, задача 16

Это полезно