Текстовые задачи на движение – легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ
Смотри видео "Текстовые задачи на ЕГЭ по математике".
Почему текстовые задачи относятся к простым?
Во-первых, все такие задачи решаются по единому алгоритму, о котором мы вам расскажем. Во-вторых, многие из них однотипны — это задачи на движение или на работу. Главное — знать к ним подход.
Внимание! Чтобы научиться решать текстовые задачи, вам понадобится всего три-четыре часа самостоятельной работы, то есть два-три занятия. Всё, что нужно, — это здравый смысл плюс умение решать квадратное уравнение. И даже формулу для дискриминанта мы вам напомним, если вдруг забыли.
Прежде чем перейти к самим задачам — проверьте себя.
Запишите в виде математического выражения:
на
больше
;
в пять раз больше
;
на
меньше, чем
;
меньше
в
раза;
на
меньше, чем
;
- частное от деления
на
в полтора раза больше
;
- квадрат суммы
и
равен
;
составляет
процентов от
;
больше
на
процентов.
Пока не напишете — в ответы не подглядывайте! :-)
Казалось бы, на первые три вопроса ответит и второклассник. Но почему-то у половины выпускников они вызывают затруднения, не говоря уже о вопросах
и
. Из года в год мы, репетиторы, наблюдаем парадоксальную картину: ученики одиннадцатого класса долго думают, как записать, что «
на
больше
». А в школе в этот момент они «проходят» первообразные и интегралы :-)
Итак, правильные ответы:

больше, чем
. Разница между ними равна пяти. Значит, чтобы получить большую величину, надо к меньшей прибавить разницу.

больше, чем
, в пять раз. Значит, если
умножить на
, получим
.

меньше, чем
. Разница между ними равна
. Чтобы получить меньшую величину, надо из большей вычесть разницу.


меньше, чем
. Значит, если из большей величины вычтем разницу, получим меньшую.


На всякий случай повторим терминологию:
Сумма — результат сложения двух или нескольких слагаемых.
Разность — результат вычитания.
Произведение — результат умножения двух или нескольких множителей.
Частное — результат деления чисел.

Мы помним, что
.

Если
принять за
, то
на
процентов больше, то есть
.
Начнем мы с задач на движение. Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Здесь всего два правила:
- Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле:
, то есть расстояние
скорость
время. Из этой формулы можно выразить скорость
или время
.
- В качестве переменной
удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!
Для начала очень внимательно читаем условие. В нем все уже есть. Помним, что текстовые задачи на самом деле очень просты.
. Из пункта
в пункт
, расстояние между которыми
км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на
км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт
на
часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Что здесь лучше всего обозначить за
? Скорость велосипедиста. Тем более, что ее и надо найти в этой задаче. Автомобилист проезжает на
километров больше, значит, его скорость равна
.
Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние — и велосипедист, и автомобилист проехали по
км. Можно внести скорость — она равна
и
для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».
Его мы найдем по формуле:
. Для велосипедиста получим
, для автомобилиста
.
Эти данные тоже запишем в таблицу.
Вот что получится:
|
 |
 |
 |
велосипедист |
 |
 |
 |
автомобилист |
 |
 |
 |
Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на
часа позже автомобилиста. Позже — значит, времени он затратил больше. Это значит, что
на четыре больше, чем
, то есть 

Решаем уравнение.

Приведем дроби в левой части к одному знаменателю.
Первую дробь домножим на
, вторую — на
.
Если вы не знаете, как приводить дроби к общему знаменателю (или — как раскрывать скобки, как решать уравнение...), подойдите с этим конкретным вопросом к вашему учителю математики и попросите объяснить. Бесполезно говорить учительнице: «Я не понимаю математику» — это слишком абстрактно и не располагает к ответу. Учительница может ответить, например, что она вам сочувствует. Или, наоборот, даст какую-либо характеристику вашей личности. И то и другое неконструктивно.
А вот если вы зададите конкретный вопрос: «Как приводить дроби к одному знаменателю?» или «Как раскрывать скобки?» — вы получите нужный вам конкретный ответ. Вам ведь необходимо в этом разобраться! Если педагог занят, договоритесь о времени, когда вы можете с ним (или с ней) встретиться, чтобы получить консультацию. Используйте ресурсы, которые у вас под рукой!
Получим:



Разделим обе части нашего уравнения на
. В результате уравнение станет проще. Но почему-то многие учащиеся забывают это делать, и в результате получают сложные уравнения и шестизначные числа в качестве дискриминанта.

Умножим обе части уравнения на
. Получим:

Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть уравнения:


Мы получили квадратное уравнение. Напомним, что квадратным называется уравнение вида
. Решается оно стандартно — сначала находим дискриминант по формуле
, затем корни по формуле 
В нашем уравнении
,
,
.
Найдем дискриминант
и корни:
,
.
Ясно, что
не подходит по смыслу задачи — скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.
Ответ:
.
Следующая задача — тоже про велосипедиста.
2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города
в город
, расстояние между которыми равно
км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на
км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на
часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из
в
. Найдите скорость велосипедиста на пути из
в
. Ответ дайте в км/ч.
Пусть скорость велосипедиста на пути из
в
равна
. Тогда его скорость на обратном пути равна
. Расстояние в обеих строчках таблицы пишем одинаковое —
километров. Осталось записать время. Поскольку
, на путь из
в
велосипедист затратит время
, а на обратный путь время
.
На обратном пути велосипедист сделал остановку на
часа и в результате затратил столько же времени, сколько на пути из
в
. Это значит, что на обратном пути он крутил педали на
часа меньше.
Значит,
на три меньше, чем
. Получается уравнение:

Как и в предыдущей задаче, сгруппируем слагаемые:

Точно так же приводим дроби к одному знаменателю:


Разделим обе части уравнения на 

Напомним — если вам непонятны какие-либо действия при решении уравнений, обращайтесь к учительнице! Показывайте конкретную строчку в решении задачи и говорите: «Пожалуйста, объясните, как это делать». Для нее такое объяснение — дело пятнадцати минут, а вы наконец научитесь решать уравнения, что очень важно для сдачи ЕГЭ по математике.
Умножим обе части уравнения на
, раскроем скобки и соберем все в левой части.

Находим дискриминант. Он равен
.
Найдем корни уравнения:
. Это вполне правдоподобная скорость велосипедиста. А ответ
не подходит, так как скорость велосипедиста должна быть положительна.
Ответ:
.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.
При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть — быстрее.
Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.
А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.
3. Моторная лодка прошла против течения реки
км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на
часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна
км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна
.
Тогда скорость движения моторки по течению равна
, а скорость, с которой она движется против течения
.
Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно
км.
Занесем скорость и расстояние в таблицу.
Заполняем графу «время». Мы уже знаем, как это делать. При движении по течению
, при движении против течения
, причем
на два часа больше, чем
.
|
 |
 |
 |
по течению |
 |
 |
 |
против течения |
 |
 |
 |
Условие «
на два часа больше, чем «
» можно записать в виде:

Составляем уравнение:

и решаем его:

Приводим дроби в левой части к одному знаменателю:

Раскрываем скобки:

Делим обе части на
, чтобы упростить уравнение:

Умножаем обе части уравнения на 


Вообще-то это уравнение имеет два корня:
и
(оба этих числа при возведении в квадрат дают
). Но конечно же, отрицательный ответ не подходит — скорость лодки должна быть положительной.
Ответ:
.
4. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения
км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна
км/ч, стоянка длится
часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через
часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Снова обозначим за
скорость течения. Тогда скорость движения теплохода по течению равна
, скорость его движения против течения равна
. Расстояния — и туда, и обратно — равны
км.
Теперь графа «время».
Поскольку
, время
движения теплохода по течению равно
, которое теплоход затратил на движение против течения, равно
.
|
 |
 |
 |
по течению |
 |
 |
 |
против течения |
 |
 |
 |
В пункт отправления теплоход вернулся через
часов после отплытия из него. Стоянка длилась
часов, следовательно,
часов теплоход плыл — сначала по течению, затем против.
Значит, 

Прежде всего разделим обе части уравнения на
. Оно станет проще!

Мы не будем подробно останавливаться на технике решения уравнения. Всё уже понятно — приводим дроби в левой части к одному знаменателю, умножаем обе части уравнения на
, получаем квадратное уравнение
. Поскольку скорость течения положительна, получаем:
.
Ответ:
.
Наверное, вы уже заметили, насколько похожи все эти задачи. Текстовые задачи хороши еще и тем, что ответ легко проверить с точки зрения здравого смысла. Ясно, что если вы получили скорость течения, равную
километров в час — задача решена неверно.
5. Баржа в
вышла из пункта
в пункт
, расположенный в
км от
. Пробыв в пункте
час
минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт
в
. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна
км/ч.
Пусть скорость течения равна
. Тогда по течению баржа плывет со скоростью
, а против течения со скоростью
.
Сколько времени баржа плыла? Ясно, что надо из
вычесть
, а затем вычесть время стоянки. Обратите внимание, что
час
минут придется перевести в часы:
час
минут
часа. Получаем, что суммарное время движения баржи (по течению и против) равно
часа.
|
 |
 |
 |
по течению |
 |
 |
 |
против течения |
 |
 |
 |

Возникает вопрос — какой из пунктов,
или
, расположен выше по течению? А этого мы никогда не узнаем! :-)
Да и какая разница — ведь в уравнение входит сумма
, равная
.
Итак, 
Решим это уравнение. Число
в правой части представим в виде неправильной дроби:
.
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю, раскроем скобки и упростим уравнение. Получим:

Работать с дробными коэффициентами неудобно! Если мы разделим обе части уравнения на
и умножим на
, оно станет значительно проще:


Поскольку скорость течения положительна,
.
Ответ: 2.
Еще один тип текстовых задач в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Текстовые задачи на движение – легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
05.09.2023