Центр подготовки к ЕГЭ > Материалы для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ > Текстовые задачи на движение – легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ

Текстовые задачи на движение – легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ

Смотри видео "Текстовые задачи на ЕГЭ по математике".

Почему текстовые задачи относятся к простым?

Во-первых, все такие задачи решаются по единому алгоритму, о котором мы вам расскажем. Во-вторых, многие из них однотипны — это задачи на движение или на работу. Главное — знать к ним подход.

Внимание! Чтобы научиться решать текстовые задачи, вам понадобится всего три-четыре часа самостоятельной работы, то есть два-три занятия. Всё, что нужно, — это здравый смысл плюс умение решать квадратное уравнение. И даже формулу для дискриминанта мы вам напомним, если вдруг забыли.

Прежде чем перейти к самим задачам — проверьте себя.

Запишите в виде математического выражения:

$x$ на $5$ больше $y$ ;
$x$ в пять раз больше $y$ ;
$z$ на $8$ меньше, чем $x$ ;
$z$ меньше $x$ в $3,5$ раза;
$t_1$ на $1$ меньше, чем $t_2$ ;
частное от деления $a$ на $b$ в полтора раза больше $b$ ;
квадрат суммы $x$ и $y$ равен $7$ ;
$x$ составляет $60$ процентов от $y$ ;
$m$ больше $n$ на $15$ процентов.

Пока не напишете — в ответы не подглядывайте! :-)

Казалось бы, на первые три вопроса ответит и второклассник. Но почему-то у половины выпускников они вызывают затруднения, не говоря уже о вопросах $7$ и $8$ . Из года в год мы, репетиторы, наблюдаем парадоксальную картину: ученики одиннадцатого класса долго думают, как записать, что « $x$ на $5$ больше $y$ ». А в школе в этот момент они «проходят» первообразные и интегралы :-)

Итак, правильные ответы:

$x=y+5.$
$x$ больше, чем $y$ . Разница между ними равна пяти. Значит, чтобы получить большую величину, надо к меньшей прибавить разницу.
$x=5y.$
$x$ больше, чем $y$ , в пять раз. Значит, если $y$ умножить на $5$ , получим $x$ .
$z=x-5.$
$z$ меньше, чем $x$ . Разница между ними равна $8$ . Чтобы получить меньшую величину, надо из большей вычесть разницу.
$z=x:3,5.$
$t_1=t_2-1.$
$t_1$ меньше, чем $t_2$ . Значит, если из большей величины вычтем разницу, получим меньшую.
$a:b=1,5b.$
$\left( x+y \right)^2=7.$
На всякий случай повторим терминологию:
Сумма — результат сложения двух или нескольких слагаемых.
Разность — результат вычитания.
Произведение — результат умножения двух или нескольких множителей.
Частное — результат деления чисел.
$x=0,6y.$
Мы помним, что $60\%y = \left( 60/100 \right)\cdot y=0,6y$ .
$m=1,15n.$
Если $n$ принять за $100\%$ , то $m$ на $15$ процентов больше, то есть $m=115\%n$ .

Начнем мы с задач на движение. Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Здесь всего два правила:

Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле: $S=v \cdot t$ , то есть расстояние $=$ скорость $\cdot$ время. Из этой формулы можно выразить скорость $v=S/t$ или время $t=s/v$ .
В качестве переменной $x$ удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится!

Для начала очень внимательно читаем условие. В нем все уже есть. Помним, что текстовые задачи на самом деле очень просты.

$1$ . Из пункта $A$ в пункт $B$ , расстояние между которыми $50$ км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на $40$ км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт $B$ на $4$ часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Что здесь лучше всего обозначить за $x$ ? Скорость велосипедиста. Тем более, что ее и надо найти в этой задаче. Автомобилист проезжает на $40$ километров больше, значит, его скорость равна $x+40$ .

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние — и велосипедист, и автомобилист проехали по $50$ км. Можно внести скорость — она равна $x$ и $x+40$ для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».

Его мы найдем по формуле: $t=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle S}{\displaystyle v}$ . Для велосипедиста получим $t_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 50}{\displaystyle x}$ , для автомобилиста $t_2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 50}{\displaystyle x + 40}$ .
Эти данные тоже запишем в таблицу.

Вот что получится:

	$v$	$t$	$S$
велосипедист	$x$	$t_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 50}{\displaystyle x}$	$50$
автомобилист	$x+40$	$t_2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 50}{\displaystyle x + 40}$	$50$

Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на $4$ часа позже автомобилиста. Позже — значит, времени он затратил больше. Это значит, что $t_1$ на четыре больше, чем $t_2$ , то есть $t_2 + 4 = t_1.$

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 50}{\displaystyle x + 40}+4=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 50}{\displaystyle x}.$

Решаем уравнение.

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 50}{\displaystyle x} - \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 50}{\displaystyle x + 40} = 4.$

Приведем дроби в левой части к одному знаменателю.

Первую дробь домножим на $x+4$ , вторую — на $x$ .

Если вы не знаете, как приводить дроби к общему знаменателю (или — как раскрывать скобки, как решать уравнение...), подойдите с этим конкретным вопросом к вашему учителю математики и попросите объяснить. Бесполезно говорить учительнице: «Я не понимаю математику» — это слишком абстрактно и не располагает к ответу. Учительница может ответить, например, что она вам сочувствует. Или, наоборот, даст какую-либо характеристику вашей личности. И то и другое неконструктивно.

А вот если вы зададите конкретный вопрос: «Как приводить дроби к одному знаменателю?» или «Как раскрывать скобки?» — вы получите нужный вам конкретный ответ. Вам ведь необходимо в этом разобраться! Если педагог занят, договоритесь о времени, когда вы можете с ним (или с ней) встретиться, чтобы получить консультацию. Используйте ресурсы, которые у вас под рукой!

Получим:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 50\left( x+40 \right)-50x}{\displaystyle x\left( x + 40 \right)}=4;$

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 50x+2000 -50x}{\displaystyle x\left( x + 40 \right)}=4;$

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2000}{\displaystyle x\left( x + 40 \right)}=4.$

Разделим обе части нашего уравнения на $4$ . В результате уравнение станет проще. Но почему-то многие учащиеся забывают это делать, и в результате получают сложные уравнения и шестизначные числа в качестве дискриминанта.

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 500}{\displaystyle x\left( x + 40 \right)}=1.$

Умножим обе части уравнения на $x\left( x + 40 \right)$ . Получим:

$x\left( x + 40 \right)=500.$

Раскроем скобки и перенесем всё в левую часть уравнения:

$x^2+40x=500;$

$x^2+40x-500=0.$

Мы получили квадратное уравнение. Напомним, что квадратным называется уравнение вида $ax^2+bx+c=0$ . Решается оно стандартно — сначала находим дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$ , затем корни по формуле $x_{1,2} = \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle -b \pm \sqrt{D}}{\displaystyle 2a}.$

В нашем уравнении $a=1$ , $b=40$ , $c=-500$ .

Найдем дискриминант $D=1600+2000=3600$ и корни:

$x_1=10$ , $x_2=-50$ .

Ясно, что $x_2$ не подходит по смыслу задачи — скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.

Ответ: $10$ .

Следующая задача — тоже про велосипедиста.

2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $A$ в город $B$ , расстояние между которыми равно $70$ км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на $3$ км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на $3$ часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B$ . Найдите скорость велосипедиста на пути из $A$ в $B$ . Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость велосипедиста на пути из $A$ в $B$ равна $x$ . Тогда его скорость на обратном пути равна $x+3$ . Расстояние в обеих строчках таблицы пишем одинаковое — $70$ километров. Осталось записать время. Поскольку $t=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle S}{\displaystyle v}$ , на путь из $A$ в $B$ велосипедист затратит время $t_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 70}{\displaystyle x}$ , а на обратный путь время $t_2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 70}{\displaystyle x + 3}$ .

	$v$	$t$	$S$
туда	$x$	$t_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 70}{\displaystyle x}$	$70$
обратно	$x+3$	$t_2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 70}{\displaystyle x + 3}$	$70$

На обратном пути велосипедист сделал остановку на $3$ часа и в результате затратил столько же времени, сколько на пути из $A$ в $B$ . Это значит, что на обратном пути он крутил педали на $3$ часа меньше.

Значит, $t_2$ на три меньше, чем $t_1$ . Получается уравнение:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 70}{\displaystyle x + 3}+3=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 70}{\displaystyle x}.$

Как и в предыдущей задаче, сгруппируем слагаемые:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 70}{\displaystyle x} - \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 70}{\displaystyle x + 3} = 3.$

Точно так же приводим дроби к одному знаменателю:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 70\left( x+3 \right) - 70x}{\displaystyle x\left( x+3 \right)}=3;$

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 210}{\displaystyle x\left( x+3 \right)}=3.$

Разделим обе части уравнения на $3.$

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle70}{\displaystyle x\left( x+3 \right)}=1.$

Напомним — если вам непонятны какие-либо действия при решении уравнений, обращайтесь к учительнице! Показывайте конкретную строчку в решении задачи и говорите: «Пожалуйста, объясните, как это делать». Для нее такое объяснение — дело пятнадцати минут, а вы наконец научитесь решать уравнения, что очень важно для сдачи ЕГЭ по математике.

Умножим обе части уравнения на $x\left( x+3 \right)$ , раскроем скобки и соберем все в левой части.

$x^2+3x-70=0.$

Находим дискриминант. Он равен $9+4\cdot 70=289$ .

Найдем корни уравнения:

$x_1=7$ . Это вполне правдоподобная скорость велосипедиста. А ответ $x_2 = -10$ не подходит, так как скорость велосипедиста должна быть положительна.

Ответ: $7$ .

Следующий тип задач — когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.

При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть — быстрее.

Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.

А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

3. Моторная лодка прошла против течения реки $255$ км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на $2$ часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна $1$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна $x$ .

Тогда скорость движения моторки по течению равна $x+1$ , а скорость, с которой она движется против течения $x-1$ .

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно $255$ км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу.

Заполняем графу «время». Мы уже знаем, как это делать. При движении по течению $t_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 255}{\displaystyle x+1}$ , при движении против течения $t_2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 255}{\displaystyle x-1}$ , причем $t_2$ на два часа больше, чем $t_1$ .

	$v$	$t$	$S$
по течению	$x+1$	$t_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 255}{\displaystyle x+1}$	$255$
против течения	$x-1$	$t_2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 255}{\displaystyle x-1}$	$255$

Условие « $t_2$ на два часа больше, чем « $t_1$ » можно записать в виде:

$t_1+2=t_2.$

Составляем уравнение:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 255}{\displaystyle x+1}+2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 255}{\displaystyle x-1}$

и решаем его:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 255}{\displaystyle x-1}-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 255}{\displaystyle x+1}=2.$

Приводим дроби в левой части к одному знаменателю:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 255\left( x+1 \right)-255\left( x-1 \right)}{\displaystyle \left( x+1 \right)\left( x-1 \right)}=2.$

Раскрываем скобки:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 510}{\displaystyle x^2-1}=2.$

Делим обе части на $2$ , чтобы упростить уравнение:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 255}{\displaystyle x^2-1}=1.$

Умножаем обе части уравнения на $x^2-1:$

$x^2-1=255;$

$x^2=256.$

Вообще-то это уравнение имеет два корня: $x_1=16$ и $x_2=-16$ (оба этих числа при возведении в квадрат дают $256$ ). Но конечно же, отрицательный ответ не подходит — скорость лодки должна быть положительной.

Ответ: $16$ .

4. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения $200$ км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна $15$ км/ч, стоянка длится $10$ часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через $40$ часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Снова обозначим за $x$ скорость течения. Тогда скорость движения теплохода по течению равна $15+x$ , скорость его движения против течения равна $15-x$ . Расстояния — и туда, и обратно — равны $200$ км.

Теперь графа «время».

Поскольку $t=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle S}{\displaystyle v}$ , время $t_1$ движения теплохода по течению равно $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 200}{\displaystyle 15+x}$ , которое теплоход затратил на движение против течения, равно $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 200}{\displaystyle 15-x}$ .

	$v$	$t$	$S$
по течению	$x+15$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 200}{\displaystyle 15+x}$	$200$
против течения	$15-x$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 200}{\displaystyle 15-x}$	$200$

В пункт отправления теплоход вернулся через $40$ часов после отплытия из него. Стоянка длилась $10$ часов, следовательно, $30$ часов теплоход плыл — сначала по течению, затем против.

Значит, $t_1+t_2=30;$

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 200}{\displaystyle 15+x}+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 200}{\displaystyle 15-x}=30.$

Прежде всего разделим обе части уравнения на $10$ . Оно станет проще!

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 20}{\displaystyle 15+x}+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 20}{\displaystyle 15-x}=3.$

Мы не будем подробно останавливаться на технике решения уравнения. Всё уже понятно — приводим дроби в левой части к одному знаменателю, умножаем обе части уравнения на $255-x^2$ , получаем квадратное уравнение $x^2=25$ . Поскольку скорость течения положительна, получаем: $x=5$ .

Ответ: $5$ .

Наверное, вы уже заметили, насколько похожи все эти задачи. Текстовые задачи хороши еще и тем, что ответ легко проверить с точки зрения здравого смысла. Ясно, что если вы получили скорость течения, равную $300$ километров в час — задача решена неверно.

5. Баржа в $10:00$ вышла из пункта $A$ в пункт $B$ , расположенный в $15$ км от $A$ . Пробыв в пункте $B$ $1$ час $20$ минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт $A$ в $16:00$ . Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна $7$ км/ч.

Пусть скорость течения равна $x$ . Тогда по течению баржа плывет со скоростью $7+x$ , а против течения со скоростью $7-x$ .

Сколько времени баржа плыла? Ясно, что надо из $16$ вычесть $10$ , а затем вычесть время стоянки. Обратите внимание, что $1$ час $20$ минут придется перевести в часы: $1$ час $20$ минут $=1\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}$ часа. Получаем, что суммарное время движения баржи (по течению и против) равно $4\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$ часа.

	$v$	$t$	$S$
по течению	$x+7$	$t_1$	$15$
против течения	$7-x$	$t_2$	$15$

$t_1+t_2=4\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}.$

Возникает вопрос — какой из пунктов, $A$ или $B$ , расположен выше по течению? А этого мы никогда не узнаем! :-)
Да и какая разница — ведь в уравнение входит сумма $t_1+t_2$ , равная $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 15}{\displaystyle 7+x}+\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 15}{\displaystyle 7-x}$ .

Итак, $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 15}{\displaystyle 7+x}+\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 15}{\displaystyle 7-x}=4\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}.$

Решим это уравнение. Число $4\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$ в правой части представим в виде неправильной дроби: $4\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 14}{\displaystyle 3}$ .

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю, раскроем скобки и упростим уравнение. Получим:

$30 \cdot 7=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 14}{\displaystyle 3} \cdot \left( 49-x^2 \right).$

Работать с дробными коэффициентами неудобно! Если мы разделим обе части уравнения на $14$ и умножим на $3$ , оно станет значительно проще:

$45=49-x^2;$

$x^2=4.$

Поскольку скорость течения положительна, $x=2$ .

Ответ: 2.

Еще один тип текстовых задач в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Текстовые задачи на движение – легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 09.03.2023

Текстовые задачи на движение – легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ

Это полезно