Задание №8. Производная. Поведение функции. Первообразная

Необходимая теория:

Задание 8 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих задачах встречаются вопросы о первообразной.

Геометрический смысл производной

Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.

Производная функции $f\left ( x \right )$ в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.

$\boldsymbol{f$

1. На рисунке изображён график функции $y\ =\ f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0 .$ Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0 .$

Производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке $x_0$ .

Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:

$f$

Ответ: 0,25.

2. На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0.$
Найдите значение производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0.$

Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке $x_0$ функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке $x_0$ образует тупой угол $\alpha$ с положительным направлением оси $X$ . Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла $\varphi$ , смежного с углом $\alpha$ .

Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $tg \varphi = 0, 25.$ Поскольку $\alpha + \varphi = 180^{\circ}$ , имеем:

$tg \alpha = tg(180^{\circ} -\varphi ) = - tg \varphi = -0, 25.$

Ответ: −0, 25.

Касательная к графику функции

3. Прямая $y\ =\ -\ 4x\ -\ 11$ является касательной к графику функции $y\ =\ x^3 +\ 7x^2 +\ 7x\ -\ 6.$

Найдите абсциссу точки касания.

Запишем условие касания функции $y=f\left(x\right)\$ и прямой $y=kx+b$ в точке $x_0 .$

При $x= x_0$ значения выражений $f\left(x\right)\$ и $kx+b$ равны.

При этом производная функции $f\left(x\right)\$ равна угловому коэффициенту касательной, то есть $k$ .

$\left\{ \begin{array}{c}f\left(x\right)=kx+b \\f^{$

$\left\{ \begin{array}{c}x^3+{7x}^2+7x-6=-4x-11 \\{3x}^2+14x+7=-4 \end{array}\right..$

Из второго уравнения находим $x =\ -1$ или $x=-\frac{11}{3}.$ Первому уравнению удовлетворяет только $x = -1$ .

Физический смысл производной

Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.

Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.

Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t) = t^2 - 3t - 29$ , где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t = 3$ с.

Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета: $x\left(t\right)=t^2-3t-29.$

Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:

$v\left(t\right)=x$ В момент времени $t=3$ получим:

$v\left(3\right)=2\cdot 3-3=3$ .

Ответ: 3.

Применение производной к исследованию функций

Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.

Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.

Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.

И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.

Если $f$ , то функция $f (x)$ возрастает.

Если $f$ , то функция $f (x)$ убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

$f(x)$	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
$f$	$+$	0	$-$	0	$+$

5. На рисунке изображен график функции $y=f(x)$ , определенной на интервале $(-3; 9).$ Найдите количество точек, в которых производная функции $f(x)$ равна 0.

Производная функции $f {$ в точках максимума и минимума функции $f(x).$ Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

6. На рисунке изображён график $y = f$ — производной функции $f(x)$ , определённой на интервале $(-6; 5)$ . В какой точке отрезка $[-1; 3]$ функция $f(x)$ принимает наибольшее значение?

Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?

Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.

На отрезке $[-1;3]$ производная функции $f(x)$ положительна.

Значит, функция $f(x)$ возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение $f(x).$ Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.

Ответ: 3.

7. На рисунке изображён график функции $y= f(x)$ , определённой на интервале $(-3; 8)$ . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой $y = 1.$

Прямая $y=1$ параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции $y = f(x)$ точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.

Ответ: 7.

8. На рисунке изображен график производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-7; 14).$ Найдите количество точек максимума функции $f(x)$ на отрезке $[-6; 9].$

Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке $[-6; 9]$ такая точка всего одна! Это $x=7.$

Ответ: 1.

9. На рисунке изображен график производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(-6; 5).$ Найдите точку экстремума функции $f(x)$ на отрезке $[-5; 4].$

Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке $[- 5; 4]$ график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке $x = -2.$ В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.

Значит, $x= -2$ является точкой экстремума.

Первообразная и формула Ньютона-Лейбница

Функция $F(x)$ , для которой $f(x)$ является производной, называется первообразной функции $y = f(x).$ Функции вида $y = F(x) + C$ образуют множество первообразных функции $y = f(x).$

10. На рисунке изображён график $y = F(x)$ — одной из первообразных некоторой функции $f(x)$ , определённой на интервале $(-6; 6).$ Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения $f(x)=0$ на отрезке $[-4; 4] .$

Функция $F(x),$ для которой $f(x)$ является производной, называется первообразной функции $y = f(x).$

Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку $[-4; 4]$ , в которых производная функции $F(x)$ равна нулю. Это точки максимума и минимума функции $F(x).$ На отрезке $[-4; 4]$ таких точек 4.

Ответ: 4.

Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» - в этой статье

Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задание №7. Производная. Поведение функции. Первообразная u0026#8212; профильный ЕГЭ по Математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 05.09.2023

Задание №8. Производная. Поведение функции. Первообразная — профильный ЕГЭ по Математике

Это полезно