Slider

Решение. Задание 14, Вариант 1

Боковые грани правильной четырехугольной пирамиды SABCD наклонены к плоскости основания под углом 45°.

а) Докажите, что апофема SM грани SCD перпендикулярна боковому ребру AS.

б) Найдите расстояние от вершины А до плоскости SDC, если АВ = 5.

Решение:

а) Угол между плоскостями - это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенным в этих плоскостях.

(SDC)⋂(ABC)=DC;

SM - апофема грани SDC; SM⊥DC;

проведём NM⊥DC в плоскости АВС;

NM∥AD, т.к. пирамида - правильная, N - середина АВ.

Тогда угол NMS - это угол между плоскостями (SDC) и (АВС); ∠NMS=45°.

SM=SN, △SMN - равнобедренный, значит, ∠NSM=90°.

Поскольку AB∥DC, SM⊥AB.

т.к. ∠NSM=90°, SM⊥SN, следовательно, SM⊥(ASB).

Поскольку AS∈(ASB), получим, что SM⊥AS.

б) Найдём расстояние от точки А до плоскости SDC.

Точка А лежит на прямой АВ, параллельной плоскости SDC (т.к. AB∥DC).

Расстояние от точки А до плоскости SDC равно расстоянию от любой точки прямой АВ до плоскости SDC.

Возьмём точку N - середину АВ. NS⊥SM (см. пункт (а)),

NS⊥DC т.к. NS∈(NSM), (NSM⊥DC).

Значит, (NM⊥SDC).

Длина NS - это расстояние от точки N до плоскости SDC, и оно равно расстоянию от А до SDC.

Поскольку АВ = NM = 5 и треугольник NSM - прямоугольный, NS = \displaystyle \frac{5}{\sqrt{2}}

Ответ: б) \displaystyle  \frac{5}{\sqrt{2}} .

Смотреть все задачи варианта

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить