Slider

Решение. Задание 15, Вариант 1

Решите неравенство: \displaystyle  \frac{8\cdot 7^x-4^{x\log_{2}7}-11}{(2x-1)^2}\geq 0.

Решение:

\displaystyle  \frac{8\cdot 7^x-4^{x\log_{2}7}-11}{(2x-1)^2}\geq 0.

Упростим выражение 4^{xlog_27}

4^{xlog_27}=(4^{log_27})^x=(2^{2log_27})^x=(2^{log_27})^{2x}=7^{2x}.

\displaystyle  \frac{8\cdot 7^x-7^{2x}-11}{(2x-1)^2}\geq 0.

Разложим числитель на множители:

8\cdot 7^x-7^{2x}-11=-(7^x-(4-\sqrt{5})(7^x-(4+\sqrt{5})

7^x=t;

8t-t^2-11=0;

t^2-8t+11=0;

D=64-44=40;

t=\frac{8\pm\sqrt{40}}{2}=4\pm \sqrt{5}

t_1=4- \sqrt{5}; t_2=4+ \sqrt{5}

\left[       \begin{gathered}        7^x= 4- \sqrt{5};\\           7^x= 4+ \sqrt{5} \\       \end{gathered} \right.

Мы воспользовались тем, что ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),
где x_1 и x_2 - корни квадратного уравнения ax^2+bx+c=0.

Неравенство примет вид:

-\displaystyle \frac{(7^x-(4-\sqrt{5}))(7^x-(4+\sqrt{5}))}{(2x-1)^2}\geq0\Leftrightarrow

\displaystyle \frac{(7^x-7^{(log_74-\sqrt{5})})(7^x-7^{(log_74+\sqrt{5})})}{(2x-1)^2}\leq0\Leftrightarrow

\begin{cases}x\neq\frac{1}{2}\\ (7^x-7^{(log_74-\sqrt{5})})(7^x-7^{(log_74+\sqrt{5})})\leq0. \end{cases}.

Мы сделали так, потому что при x\neq \frac{1}{2} знаменатель положителен.

Применим метод замены множителя.

Множитель h^f-h^q заменим на (h-1)(f-g).

Получим:

\begin{cases}x\neq\frac{1}{2};\\(x-log_7(4-\sqrt{5}))(x-log_7(4+\sqrt{5})) \leq0& \end{cases}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \begin{cases}x\neq\frac{1}{2};\\log_7(4-\sqrt{5})\leq x\leq log_7(4+\sqrt{5}) & \end{cases}

Как сравнить \frac{1}{2} и log_7(4-\sqrt{5})?

\frac{1}{2}\vee log_7(4-\sqrt{5})

log_7\sqrt{7}\vee log_7(4-\sqrt{5})

\sqrt{7}\vee 4-\sqrt{5}

\sqrt{7}+\sqrt{5} \vee 4

Поскольку \sqrt{7}>2, ~~ \sqrt{5}>2,~~\sqrt{7}+\sqrt{5}>4 и \frac{1}{2}> log_7(4-\sqrt{5}).

Сравним \frac{1}{2} и log_7(4+\sqrt{5}).

log_7\sqrt{7}\vee log_7(4+\sqrt{5})

\sqrt{7}\vee 4+\sqrt{5}

Очевидно, \sqrt{7}< 4+\sqrt{5}, т.к. \sqrt{7}< 4. Значит,

\frac{1}{2}<log_7(4+\sqrt{5}).

Запишем ответ:

(\log_{7}(4-\sqrt{5}); \frac{1}{2})\cup ( \frac{1}{2}; \log_{7}(4+\sqrt{5})

Ответ: (\log_{7}(4-\sqrt{5}); \frac{1}{2})\cup ( \frac{1}{2}; \log_{7}(4+\sqrt{5}).

Смотреть все задачи варианта

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить