Slider

Решение. Задание 16, Вариант 1

Периметр прямоугольного треугольника АВС равен 72.

а) Докажите, что радиус R окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен его медиане, проведенной к гипотенузе АВ.

б) Найдите высоту СН, если она на 7 меньше, чем R.

Решение:

а) Первый пункт – стандартное доказательство из учебника геометрии для 7 класса. Проведем через вершину А прямую m, параллельную стороне ВС, а через вершину В – прямую р, параллельную АС. Пусть К – точка пересечения прямых m и р. АСВК – параллелограмм, в котором есть прямой угол С, то есть АСВК – прямоугольник. Середина АВ точка М является также серединой диагонали СК, поскольку диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Диагонали прямоугольника равны, следовательно, CM=AM=BM.

б) Обозначим CH=x. Тогда CM=x+7.

Пусть а и b – катеты треугольника АВС, а с – его гипотенуза; c = 2(x+7).

Получим систему уравнений:

\begin{cases} a^2+b^2=(2(x+7))^2&\\a+b+2(x+7)=72 &\\ 2x(x+7)=ab& \end{cases}

(теорема Пифагора для △АВС)

(периметр треугольника АВС равен 72)

(т.к. S_{\triangle ABC}=\frac{ab}{2}=\frac{c\cdot x}{2} )

Вспомним формулу сокращенного умножения: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2.

Из первого и третьего уравнений:

(a+b)^2=4(x+7)^2+4x(x+7).

Из второго уравнения : (a+b)^2=4\cdot(29-x)^2.

Получим уравнение для х:

(29-x)^2-(x+7)^2=x(x+7)

x^2+79x-792=0

D=79^2+4\cdot 792=6241+3168=9409; ~~ \sqrt{D}=97;

x_1=88 - не подходит по условию задачи, т.к. если x=88, то c=2(88+7)=190>72,

P_{\triangle ABC}=72.

x_2=9. Это ответ.

Ответ: б) 9.

Смотреть все задачи варианта

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить