Slider

Решение. Задание 18, Вариант 1

Авторская задача.

При каких значениях параметра a система имеет ровно 2 решения?

\left\{\begin{matrix}(x^2+y^2-6y)(\sqrt{36-x^2}-y)=0\\ x=a(y+2)\end{matrix}\right.

Решение:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

\begin{cases} (x^2+y^2-6y)(\sqrt{36-x^2}-y)=0&\\x=a(y+2) & \end{cases}\Leftrightarrow

Мы выделили в первом уравнении полный квадрат, чтобы привести его к уравнению окружности.

Решим систему графически.

Уравнение x^2+(y-3)^2=9 задаёт окружность с центром P(0;3) и радиусом 3.

Уравнение y=\sqrt{36-x^2} задаёт верхнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом 6.

Рассмотрим уравнение x=a(y+2).

Если a=0, то это прямая x=0 (ось ординат).

Если a\neq 0, то уравнение x=a(y+2) задаёт семейство прямых, проходящих через точку (0;-2) с угловым коэффициентом, равным \frac{1}{a}\. В самом деле, выразив у через х , получим, при a\neq 0, y=\frac{x}{a}-2.

Случай a=0 нам подходит - прямая x=0 пересекает график первого уравнения в двух точках.

Нам подходят также случаи касания прямой x=a(y+2) c графиком первого уравнения в точках В и С. Значения параметра в этих случаях найдем геометрическим способом.

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Рассмотрим треугольник АСР.

\angle ACP=90^\circ, ~PC=3, ~~AP=2+3=5, следовательно, АС=4.

tg\alpha=\frac{PC}{AC}=\frac{3}{4}.

Тогда tg\varphi =tg(90^\circ - \alpha)=ctg\alpha=\frac{4}{3};

tg\alpha =\frac{1}{a}, значит, в точке С значение параметра а равно \frac{3}{4}.

Для точки В: a=-\frac{3}{4}.

Ответ:-\frac{3}{4};~0;~\frac{3}{4}.

Смотреть все задачи варианта

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить