Slider

Решение. Задание 19, Вариант 1

Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11.

а) Является ли число 1234 хорошим?

б) Является ли число 12345 хорошим?

в) Найти наибольшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.

Решение:

Число а делится на 11, если суммы цифр на четных и нечетных позициях числа a равны или их разность кратна 11.

а) Из цифр 1, 2, 3, 4 легко составить, например, число 1342, в котором равны суммы цифр на четных и нечетных позициях: 1+4 = 3+2. Это число делится на 11:

1342 = 11\cdot 122.

б) Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 невозможно составить число, в котором равны суммы цифр на четных и нечетных позициях.

Ведь 1+2+3+4+5 = 15 – число нечетное, и его нельзя представить в виде суммы двух одинаковых целых чисел.

Но может быть, удастся так разбить цифры 1, 2, 3, 4, 5 на две группы, что суммы цифр в этих группах будут отличаться на 11, или на 22, или на 33 – в общем, на число, кратное 11?

Ясно, что в одной группе должно быть 2 цифры, а в другой 3 цифры. Поместим в одну группу три самые большие из наших цифр 3, 4 и 5. В другой группе останутся 1 и 2. Тогда

(3+4+5) - (1+2) = 9 <  11.

При любом другом распределении цифр на две группы суммы цифр в группах будут отличаться еще меньше. Значит, число 12345 «хорошим» не является.

в) Нечетные цифры – это 1, 3, 5, 7 и 9.

Четырехзначное «хорошее» число, состоящее из нечетных цифр, найти легко. Например, 9753 – максимально возможное число, которое можно составить из нечетных цифр, и оно «хорошее», потому что число 9537 удовлетворяет признаку делимости на 11.

Может быть, удастся составить из нечетных цифр пятизначное «хорошее» число?

1+3+5+7+9 = 25, и разбить эти цифры на две группы с одинаковой суммой цифр в каждой группе не получится. Предположим, что нам удастся разбить их на две группы так, что в одной группе сумма цифр равна S, а в другой S+11. Тогда 2S+ 11 = 25 и S = 7. Но среди цифр 1, 3, 5, 7 и 9 невозможно найти такие, сумма которых равна 7.

Если сумма цифр в одной группе равна цифр равна S, а в другой S+22 – получим, что 2S+ 22 = 25, нет натуральных решений.

Если сумма цифр в одной группе равна цифр равна S, а в другой S+11n, где n\geq 3, натуральных решений также не получится.

Значит, наибольшее «хорошее» число – 9753.

Ответ:а) да
б) нет
в) 9753

Смотреть все задачи варианта

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить