Slider

Решение. Задание 14, Вариант 2

В основании призмы ABCA_1B_1C_1 лежит правильный треугольник, вершина C_1 проецируется в центр Q основания АВС.
а) Докажите, что плоскости ABC_1 и QCC_1 перпендикулярны,
б) Найдите угол между прямой AA_1 и плоскостью ABC_1, если боковое ребро призмы равно стороне основания.

Решение:

Заметим, что ABCC_1 - правильная пирамида.

а) \triangle ABC - правильный.

CQ\cap AB=M, М - середина АВ; CQ\bot AB.

По теореме о трёх перпендикулярах, CM\bot AB. Значит, (CC_1M)\bot AB - по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Плоскость АВС содержит прямую АВ, AB\bot (CC_1Q). Значит, (ABC_1)\bot (CC_1Q) по признаку перпендикулярности плоскостей.

б) Угол между прямой AA_1 и плоскостью ABC_1 равен углу между CC_1 и (ABC_1), т.к. AA_1 \parallel CC_1.

Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией на плоскость.

Проведём в плоскости CC_1Q прямую CH, CH \bot C_1M.

Также CH\bot AB, т.к. CH\in (CC_1Q), ~~ (CC_1Q)\bot AB.

Значит, CH\bot (ABC_1). Точка H - проекция точки C на плоскость (ABC_1),~~ \angle CC_1H=\varphi - искомый угол.

Пусть AB=a - сторона основания призмы.

По условию, CC_1=a,~~ CM=a\frac{\sqrt{3}}{2} - как высота в правильном треугольнике ABC;~~ CQ=\frac{a\sqrt{3}}{3}.

Так как ABCC_1 - правильная пирамида, AC_1=BC_1=CC_1=a, и тогда CM=C_1M,

\angle CC_1Q=\angle C_1CQ=\varphi, т.к. \triangle CC_1M - равнобедренный.

Из \triangle CC_1Q:

cos \varphi=\displaystyle \frac{CQ}{CC_1}=\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3\cdot a}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}

Ответ:

б) \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}

Смотреть все задачи варианта

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить