Slider

Решение. Задание 16, Вариант 2

Четырехугольник КLMN можно вписать в окружность, причем LM = MN, отрезки КМ и LN пересекаются в точке Р.
а) докажите, что KM \cdot MP = LM^2
б) Известно, что КМ = 8, угол LMN равен 150 градусов. Найдите площадь четырехугольника КLMN.

Решение:

а) Докажем, что KM\cdot MP=LM^2.

По условию, LM=MN, тогда \angle MNL=\angle MLN= \varphi, \triangle LMN - равнобедренный.

\angle MKL=\angle MNL= \varphi, (опирается на ту же дугу); \angle MKM=\angle NLM= \varphi.

\triangle MLP \sim \triangle MKL по двум углам,

\frac{MP}{LM}=\frac{LM}{KM}\Rightarrow LM^2=MP\cdot KM.

б) Пусть KM=8, \angle LMN=150^\circ.

Найдем S_{KLMN}.

Обозначим LM=y. Из треугольников KLM и NLM по теореме косинусов:

\begin{cases} y^2=LK^2+KM^2-2LK\cdot KM\cdot cos\varphi &\\ y^2=NK^2+KM^2-2NK\cdot KM\cdot cos\varphi; & \end{cases}

Отсюда

LK^2-16\cdot LK\cdot cos \varphi = NK^2-16\cdot NK\cdot cos \varphi,

LK^2-NK^2=16(LK-NK)\cdot cos \varphi;

\left[       \begin{gathered}         LK=NK \\         LK+NK=16 cos \varphi. \\       \end{gathered} \right.

По условию, \angle LMN=150^\circ.

Тогда \varphi=\frac{180^\circ-150^\circ}{2}=15^\circ.

1) 1 случай: LK=NK,

Тогда \triangle LKN - равнобедренный, KM\bot LN,~~ \triangle KLM=90^\circ (т.к. \triangle MLP \sim \triangle MKL),

КМ - диаметр, из \triangle KLM:

LM=KM\cdot sin \varphi =8sin15^\circ;

из \triangle LMP:

LP=LM\cdot cos \varphi =8sin15^\circ cos15^\circ=4\cdot sin30^\circ=2;

LN=2LP=4,

S_{\triangle KLMN}=\frac{8\cdot 4}{2}=16.

2) 2 случай: LK+NK=16 cos 15^\circ.

S_{ABCD}=S_{\triangle KLM}+S_{\triangle KNM};

S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot LK\cdot KM\cdot sin 15^\circ + \frac{1}{2}\cdot NK\cdot KM\cdot sin 15^\circ

S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot8\cdot16\cdot sin15^\circ\cdot cos15^\circ=32\cdot sin30^\circ=16.

Ответ: б) 16.

Смотреть все задачи варианта

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить