Slider

Решение. Задание 18, Вариант 2

Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

sin(x-3a)+sin(\displaystyle\frac{x^2-6x+7a}{2})=4x-x^2-a

не имеет действительных решений.

Решение:

sin(x-3a)+sin(\displaystyle\frac{x^2-6x+7a}{2})=4x-x^2-a

Нестандартная задача с параметром. Надо искать хитрый способ решения.

Обозначим \displaystyle\frac{x^2-6x+7a}{2}=y.

Тогда x^2=2y+6x-7a,

4x-x^2-a=4x-2y-6x+6a=6a-2x-2y.

Мы ищем какую-либо связь между выражениями x-3a,~~ x^2-6x+7a

и 4x-x^2-a.

Теперь уравнение примет вид:

sin(x-3a)+siny=-2y-2(x-3a).

Сгруппируем в левой части только слагаемые, содержащие у.

siny+2y=-(sin(x-3a)+2(x-3a)).

Рассмотрим функцию

f(z)=sinz+2z.

Эта функция нечетная (как сумма двух нечетных функций), f(-z)=-f(z).

Найдем f

f =cosz+2>0, значит, f(z) монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз.

Тогда из равенства f(z_1)=-f(z_2) следует, что z_1=-z_2.

Получим:

3a-x=y;

3a-x=\displaystyle\frac{x^2-6x+7a}{2};

x^2-4x+a=0.

Это уравнение намного проще исходного! Нам нужно, чтобы оно не имело действительных решений, что выполняется, если его дискриминант отрицателен.

16-4a<0; ~~a>4.

Ответ: а>4

Смотреть все задачи варианта

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить