Slider

Решение. Задание 14, Вариант 3

В основании прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AC = 4, BC = 16, AA_1=4\sqrt{2}. Точка Q — середина ребра A_1B_1, а точка P делит ребро B_1C_1 в отношении 1 : 2, считая от вершины C_1. Плоскость APQ пересекает ребро CC_1 в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC_1.
б) Найдите расстояние от точки A_1 до плоскости APQ.

Решение:

а) Построим сечение призмы плоскостью APQ,

(PQ)\cap(A_1C_1)=N; ~~N\in (AA_1C_1); проведём AN;

(AN)\cap(CC_1)=M.

Четырёхугольник AQPM - искомое сечение. Покажем, что М - середина CC_1.

Проведём QH\parallel B_1C_1; QH - средняя линия треугольника A_1B_1C_1;

QH=\displaystyle\frac{1}{2}B_1C_1

Пусть A_1H=HC_1=x.

\triangle NPC_1\sim\triangle NQH;

\displaystyle\frac{NC_1}{NH}=\displaystyle\frac{PC_1}{QH}=\displaystyle\frac{2}{3}, тогда
NC_1=2x и C_1 - середина NA_1.

Тогда MC_1 - средняя линия \triangle NA_1A и M - середина CC_1.

б) Найдем расстояние от точки A_1 до плоскости APQ методом объемов. Для этого запишем объем пирамиды A_1ANQ двумя способами.

V_{A_1ANQ}=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle ANQ}\cdot h=\displaystyle\frac{1}{3}\cdot S_{\triangle AA_1N}\cdot QH.

Здесь h - расстояние от точки A_1 до плоскости APQ.

QH\bot A_1N, ~~ QH\bot AA_1 \Rightarrow QH\bot (AA_1N).

В треугольнике ANQ: ~~ AN=4\sqrt{6};~~ AQ=NQ=10;

S_{\triangle ANQ}=4\sqrt{114}.

QH=\frac{1}{2}B_1C_1=8;~~ S_{\triangle AA_1N}= S_{AA_1C_1C}=16\sqrt{2};

h=\displaystyle \frac{128\sqrt{2}}{4\sqrt{114}}=\displaystyle\frac{32}{\sqrt{57}}.

Ответ:
б) \frac{32}{\sqrt{57}}.

Смотреть все задачи варианта

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить