Slider

Решение. Задание 15, Вариант 3

Решите неравенство: (3^{x+2}+3^{2-x})x^2\geq \displaystyle\frac{45x^2}{2}.

Решение:

(3^{x+2}+3^{2-x})x^2\geq \displaystyle\frac{45x^2}{2}.

Заметим, что и в левой, и в правой частях неравенства присутствует множитель x^2.
Если х=0, неравенство выполняется.

Значит, х=0 - решение.

Если x\neq 0, то x^2>0, и мы можем поделить обе части неравенства на x^2>0. Получим:

3^{x+2}+3^{2-x}\geq \displaystyle\frac{45}{2}

9\cdot 3^x+\displaystyle\frac{9}{3^x}\geq\displaystyle\frac{45}{2}

2\cdot 3^x+\displaystyle\frac{2}{3^x}\geq 5

Сделаем замену переменной: 3^x=t,~~ t>0.

2t^2-5t+2 \geq 0

2(t-2)(t-\frac{1}{2}) \geq 0

2t^2-5t+2 = 0

D=25-16=9

t=\frac{5\pm 3}{4}

t_1=2;~~ t_2=\frac{1}{2}


Получим:

\left[       \begin{gathered}        3^x\leq\frac{1}{2} \\      3^x>2 \\       \end{gathered} \right.; ~~\left[       \begin{gathered}        3^x\leq 3^{log_3\frac{1}{2}} \\      3^x>3^{log_32} \\       \end{gathered} \right.; \left[       \begin{gathered}        x\leq log_3\frac{1}{2} \\     x \geq log_32\\       \end{gathered} \right..

Вспомним, что x=0 также является решением.

Поскольку log_32>0, а log_3\frac{1}{2}<0,

получим ответ: x\in (-\infty; log_3\frac{1}{2}] \cup {0} \cup[log_32; +\infty)

Ответ:
x\in (-\infty; log_3\frac{1}{2}] \cup {0} \cup[log_32; +\infty).

Смотреть все задачи варианта

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить