Slider

Решение. Задание 16, Вариант 3

Угол между касательными РВ и РС, проведенными из точки Р к окружности S, равен 60°. Отрезок, соединяющий центр окружности S с точкой Р, пересекается с окружностью S в точке Т, а с отрезком ВС – в точке М. Прямая ВТ пересекает отрезок РС в точке Е.
а) Докажите, что точки Р, В, М и Е лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус окружности, описанной вокруг четырехугольника РВМЕ, если радиус окружности S равен четырем.

Решение:

а) Докажем, что точки Р, В, М и Е лежат на одной окружности.

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Значит, РВ=РС; △РВС - правильный.

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, △РОВ и △РОС - прямоугольные.

△РОВ = △РОС по трём сторонам, значит, ∠ВРМ = ∠СРМ = 30°, РМ - биссектриса, медиана и высота правильного треугольника РВС.

∠РОВ = ∠РОС = 60°; △ВОТ - правильный ( т.к. ОВ = ОТ как радиусы окружности, ∠ВОТ = 60°),
тогда ∠РВЕ = 90° - 60° = 30°,

∠ВЕР = 90°; ВЕ - высота и медиана правильного треугольника РВС,

Е - середина РС, М - середина АВ. Значит, МЕ - средняя линия △РВС, МЕ∥ВР, ВМ=РЕ,

РВМЕ - равнобокая трапеция, и ее можно вписать в окружность.

б) Найдем радиус этой окружности.

Поскольку в эту окружность вписан прямоугольный треугольник РВЕ, радиус окружности

R=\frac{PB}{2}=\frac{BC}{2}.

ОВ = 4, из △ВОС по теореме косинусов найдем

BC=4\sqrt{3}, тогда R=2\sqrt{3}.

Ответ:
б) 2\sqrt {3}.

Смотреть все задачи варианта

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить