Slider

Решение. Задание 18, Вариант 3

Найти все значения параметра a, при каждом из которых среди значений функции y=\displaystyle \frac{x^2-2x+a}{6+x^2} есть ровно одно целое число.

Решение:

Это нестандартная задача с параметром. Надо очень внимательно посмотреть на условие и найти способ решения.

Рассмотрим функцию y=\displaystyle \frac{x^2-2x+a}{6+x^2}

Поскольку 6+x^2\neq 0, функция y(x) непрерывна.

Выделим в формуле функции целую часть:

y(x)=\displaystyle\frac{x^2+6-6-2x+a}{x^2+6}=1+\displaystyle\frac{a-2x-6}{x^2+6}

Если \displaystyle\frac{a-2x-6}{x^2+6}=0, то y(x)=1, и это - целое значение функции; если a-2x-6=0, то x=\displaystyle\frac{6-a}{2}.

Получается, что для любого значения a существует такое x=\displaystyle\frac{6-a}{2}, что при этом функция y(x) принимает целое значение, равное 1.

По условию, нужно, чтобы других целых значений функция не имела.

Это значит, что для всех x должно выполняться условие:

-1<\displaystyle\frac{a-2x-6}{x^2+6}<1.

Это условие равносильно системе:

\begin{cases}x^2-2x+a>0 &\\ x^2-2x+a<12+2x^2 & \end{cases}

Найдем, при каких значениях параметра a эти неравенства выполняются для всех x.

\begin{cases}x^2-2x+a>0 &\\ x^2+2x+12-a>0  & \end{cases}

Чтобы эти неравенства выполнялись для всех x, необходимо и достаточно, чтобы дискриминанты уравнений x^2-2x+a=0 и
x^2+2x+12-a=0 были отрицательны.

\begin{cases}4-4a<0 &\\ 4-4(12-a)<0  & \end{cases}

\begin{cases}a>1 & \\ a<11  & \end{cases}

Ответ: a\in (1; 11)  .

Смотреть все задачи варианта

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить