Slider

Решение. Задание 19, Вариант 3

По окружности расставляют 48 ненулевых целых чисел с общей суммой 20. При этом любые два стоящих рядом числа должны отличаться не более чем на 7 и среди любых четырёх подряд идущих чисел должно быть хотя бы одно положительное.
а) Среди таких 48 чисел найдите наибольшее возможное количество положительных.
б) Среди таких 48 чисел найдите наименьшее возможное количество положительных.

Решение:

Пусть р - количество положительных чисел, 48-p отрицательных.

р < 48, т.к. общая сумма чисел 20, и это меньше, чем сумма любых 48 положительных чисел - даже если взять 48 единиц. Если р = 47, на доске 47 положительных чисел, их сумма S_{+}\geq 47, и одно отрицательное m, поскольку S_{+}+m=20,

m\leq -27 - и оно отличается от остальных чисел больше, чем на 7. Значит, p\neq 47.

Если p = 46, то S_{+}\geq 46,~~ S_{-}\leq -26.

Если оба отрицательных числа равны -13, условие задачи не выполняется. Если одно из отрицательных чисел больше -13, а другое меньше -13, условие также не выполняется (разность стоящих рядом чисел будет больше 7).

Случай p = 45 возможен. Тогда S_{+}\geq 45,~~ S_{-}\leq -25.
Возьмем три отрицательных числа: -6, -13, - 6; ~~ -6-13-6=-25.

Расставим на окружности 45 единиц и числа -6, -13, -6 в следующем порядке:

Условие задачи выполнено.

б) Пусть x_1,~x_2, . . . x_{48} - числа на окружности.

Среди каждых идущих подряд четырех чисел должно быть хотя бы одно положительное, значит, p\geq 12. Это легко доказать.

Разобьем числа x_1 . . . x_{48} на четверки.

(x_1,~x_2,~x_3,~x_4), ~ (x_5, . . . x_8) . . . (x_{45}, . . . x_{48}) .

В каждой четверке должно быть хотя бы одно положительное число; таких четверок 48:4=12, значит, p\geq 12.

Приведем пример, где р=12.

Расставим по окружности в следующем порядке числа:

Общая сумма равна чисел 20, и все условия задачи выполнены.

Ответ: а) 45
б) 12

Смотреть все задачи варианта

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить