Slider

Решение. Задание 14, Вариант 4

Точки М и N – середины ребер соответственно АВ и СD треугольной пирамиды АВСD, О – точка пересечения медиан грани АВС.
а) Докажите, что прямая DO проходит через середину отрезка MN.
б) Найдите угол между прямыми MN и ВС, если АВСD – правильный тетраэдр.

Решение:

Точка О - точка пересечения медиан треугольника АВС; М - середина АВ, N - середина CD.

DO \in (DMC); ~~ MN\in (DMC); DO\cap MN=K.

Покажем, что K - середина MN.

Проведём NH\bot MC в плоскости DMC.

Тогда NH\parallel DO,~~NH=\displaystyle \frac{1}{2}DO - как средняя линия \triangle DOC.

По свойству медиан, MO:OC=1:2. Пусть MO=x, тогда OC=2x;~~ OH=HC=x, т.к. H - середина OC.

\triangle MKO\sim\triangle MNH; ~~\displaystyle \frac{MK}{MN}=\displaystyle \frac{MO}{MH}=\displaystyle \frac{x}{2x}=\displaystyle \frac{1}{2};

K - середина MN.

б) Найдем угол между MN и BC, если ABCD - правильный тетраэдр (все его ребра равны).

Пусть F - середина AC;

MF - средняя линия \triangle ABC;~~MF\parallel BC. Угол между MN и BC равен углу между MN и MF.

\triangle MFN - равнобедренный, т.к. ABCD - правильный тетраэдр, MF=FN. ~~\angle MFN = 90^\circ, т.к. MF\parallel BC; ~~ FN\parallel AD;~~ AD\bot BC - поскольку скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра попарно перпендикулярны.

Тогда \angle NMF= 45^\circ. Это угол между MN и BC.

Ответ: б) 45°

Смотреть все задачи варианта

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить