Slider

Решение. Задание 16, Вариант 4

Боковые стороны АВ и CD трапеции ABCD являются диаметрами окружностей, пересекающихся в точках М и N.
а) Докажите, что МN и АD перпендикулярны.
б) Найдите MN, если боковые стороны трапеции равны 12 и 16, а сумма проекций диагоналей на большее основание равна 20.

Решение:

а) Докажем, что MN\perp AD.

Поскольку O_1 — середина AB;~ O_2 — середина CD,~ O_1O_2 — средняя линия трапеции ABCD, O_1O_2\parallel AD.

MN\perp  O_1O_2 (отрезок, соединяющий точки пересечения окружностей, перпендикулярен их линии центров).

Это легко доказать. \triangle O_1NO_2=\triangle O_1MO_2 ( по трём сторонам), значит, \angle NO_2O_1=\angle O_1O_2M.

Пусть T=MN\cap O_1O_2. \triangle NO_2M — равнобедренный, O_2T - его биссектриса, значит, O_2T\bot MN,~~ O_1O_2 \bot MN.

Получили, что MN\bot AD.

б) Пусть K и P — проекции точек B и C на основание AD.

MN=2NT, ~~NT — высота \triangle O_1NO_2.

AB=16 \Rightarrow R_1=8; ~~CD =12 \Rightarrow R_2=6.

Сумма проекций диагоналей на основание AD:

\binoppenalty=10000 \relpenalty=10000AP+KD=AK+KP+KP+PD=AD+KP=AD+BC=20;~~ тогда

O_1O_2=\displaystyle \frac{AD+BC}{2}=10.

\triangle O_1NO_2 — прямоугольный, т.к. O_1N=8; ~~ O_2N=6;~~ O_1O_2 =10, NT — его высота.

S_{\triangle O_1NO_2}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot O_1N\cdot O_2N=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot O_1O_2\cdot NT; отсюда

NT=\displaystyle \frac{6\cdot8}{10}=4,8; ~~ MN=2NT=9,6.

Ответ: б) 9,6.

Смотреть все задачи варианта

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить