Slider

Решение. Задание 18, Вариант 4

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(1+sinx)^4-4sinx=7-a-a^2 не имеет решений.

Решение:

Найдем, при каких значениях a уравнение (1+sinx)^4-4sinx=7-a-a^2 не имеет решений.

Сделаем замену переменных: sinx=t; -1\leq t\leq 1;

7-a-a^2=b. Уравнение примет вид:

(1+t)^4-4t=b. Найдем, при каких b оно не имеет решений на отрезке [-1;1].

Есть смысл сделать еще одну замену:

1+t=z;

z^4=b+4z-4; b-4=c.

Уравнение z^4=4z+c легко решить графически.

Если -1\leq t\leq 1, то z\in [0;2].

Нам надо найти, при каких значениях c уравнение z^4=4z+c не имеет решений на отрезке z\in [0;2].

График левой части — функция y=z^4,

график правой части — прямая с угловым коэффициентом 4, сдвинутая на c единиц вверх или вниз по оси у.

Уравнение не имеет решений на отрезке [0;2] если прямая y=4z+c проходит выше точки A(2;16) или ниже точки B , в которой прямая y=4z+c касается графика функции y=z^4.

1) Для точки A:

16=4\cdot2+c;~~ c=8. При c>8 нет решений.

Для точки B запишем уравнение касания.

\begin{cases} f(x)=k+b&\\ f

\begin{cases} z^4=4z+c&\\ 4z^3=4& \end{cases};

Отсюда z=1 — точка касания, c=-3

При c<-3 также нет решений.

Получим с учетом равенств c=b-4;~~b=7-a-a^2:

\left[       \begin{gathered}        c>8 \\        c<-3 \\       \end{gathered} \right.; \left[       \begin{gathered}        b>12 \\         b<1 \\       \end{gathered} \right.;\left[       \begin{gathered}        7-a-a^2>12 \\       7-a-a^2<1 \\       \end{gathered} \right..

Решение неравенства 7-a-a^2<1:

\left[       \begin{gathered}       a<-3 \\     a>2\\       \end{gathered} \right..

Неравенство 7-a-a^2>12 не имеет решений.

Ответ: (-\infty;-3)\cup(2; +\infty).

Смотреть все задачи варианта

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить