Slider

Решение. Задание 14, Вариант 5

На ребре AA_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 взята точка Е, так что
A_1E :EA=6:1, на ребре BB_1 — точка F так, что B_1F:FB=3:4, точка Т — середина ребра B_1C_1. Известно, что AB=4\sqrt{2} , AD=30, AA_1=35 .
а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D_1 .
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.

Решение:

а) Линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Пусть EL=(EFT)\cap(AA_1D_1).

\triangle LA_1E\sim \triangle TB_1F по двум углам;

\displaystyle \frac{A_1L}{TB_1}=\displaystyle \frac{A_1E}{B_1F}

A_1E=\displaystyle \frac{6}{7}AA_1;~~ B_1F=\displaystyle \frac{3}{7}BB_1=\displaystyle \frac{3}{7}AA_1

A_1E:B_1E=2:1, значит, A_1L:TB_1=2:1,

A_1L=A_1D_1, точка L совпадает с точкой D_1, сечение — трапеция EFTD_1.

б) Найдем площадь сечения.

Из \triangle TB_1F,~~ \angle B_1=90^\circ: ~~ TF=15\sqrt{2}

Из \triangle AD_1E,~~ \angle A=90^\circ: ~~ D_1E=30 \sqrt{2}

Из \triangle D_1C_1T,~~ \angle C_1=90^\circ: ~~ TD_1=\sqrt{257}

Проведем в плоскости (AA_1B_1) прямую EK параллельно AB.

Из \triangle EFK, \angle K=90^\circ, найдем, что EF=\sqrt{257}, трапеция EFTD_1 - равнобокая.

TH - высота трапеции; D_1H=\displaystyle \frac{15\sqrt{2}}{2}

Из \triangle D_1TH,~~ \angle H=90^\circ:

TH= \sqrt{257-\displaystyle \frac{225}{2}}=\displaystyle \frac{17}{\sqrt{2}}

S=\displaystyle \frac{1}{2}(15\sqrt{2}+30\sqrt{2})\cdot\displaystyle \frac{17}{\sqrt{2}}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot45\cdot17=382,5

Ответ: б) 382,5.

Смотреть все задачи варианта

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить