Slider

Решение. Задание 16, Вариант 5

В треугольнике АВС угол ВАС равен 60 градусов, угол АВС равен 45 градусов. Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную вокруг него окружность в точках М, Т, Р.
а) Докажите, что треугольник МТР прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника МТР, если ВС = 12.

Решение:

а) Докажем, что \triangle MTP - прямоугольный.

\triangle BLC — прямоугольный \Rightarrow\angle BCP=45^\circ=\angle BTP (опирается на дугу BP)

\triangle AKB — прямоугольный \Rightarrow\angle MAB=45^\circ=\angle MTB (опирается на дугу MB).

\angle MTP=\angle BTP+\angle  MTB = 45^\circ +45^\circ = 90^\circ

б) Найдем S_{\triangle MTP}, если BC=12.

Заметим, что MP — диаметр окружности, т.к. \angle  MTP = 90^\circ (вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой).

По теореме синусов для \triangle ABC:

\displaystyle \frac{BC}{sin\angle A}=2R\Rightarrow ~~R=\displaystyle \frac{BC}{2sin\angle A}=\displaystyle \frac{12}{\sqrt{3}};

MP=2R=\displaystyle \frac{24}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}.

Из \triangle ALC:~~ \angle ACL=90^\circ-60^\circ =30^\circ; ~~\angle AMP=\angle ACP ( опираются на дугу AP)

Из \triangle ANB:~~ \angle ABN=90^\circ-60^\circ =30^\circ; ~~\angle TMA=\angle ABT ( опираются на дугу AT)

\angle TMP=60^\circ; ~~\angle TPM=30^\circ ;

TM=\displaystyle \frac{1}{2}MP=4\sqrt{3};

TP=\sqrt{3}TM=12;

S_{\triangle TMP}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot12\cdot4\sqrt{3}=24\sqrt{3}.

Ответ: 24\sqrt{3}.

Смотреть все задачи варианта

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить