Slider

Решение. Задание 19, Вариант 5

Петя умножил некоторое натуральное число на соседнее натуральное число и получил произведение, равное а. Вася умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное натуральное число и получил произведение, равное b.

а) Может ли модуль разности чисел a и b равняться 8?
б) Может ли модуль разности чисел a и b равняться 11?
в) Какие значения может принимать модуль разности чисел a и b?

Решение:

а) Да, может.

Пусть
\begin{cases} n(n+1)=a&\\m(m+2)=b & \end{cases}

Условие \mid a-b\mid=8 выполняется, например, если n=m=8

Это значит, что и Петя, и Вася загадали число 8.

8\cdot9=72;~~8\cdot10=80;~~ 80-72=8

б) Нет, не может.

b=m(m+2) — четно, т.к. число m — четное.

a=n(n+1) — также четно, так как из идущих подряд натуральных чисел одно обязательно четно. Значит, \mid a-b\mid — четно, и равенство \mid a-b\mid=11 невозможно.

в) Заметим, что выражение \mid a-b\mid=n(n+1)-m(m+2) — четно. В самом деле, из чисел n и n+1 одно обязательно четно (так как это последовательные натуральные числа), а m четно по условию.

Выясним, возможен ли случай \mid a-b\mid =0 , то есть a=b. Это значит, что

m(m+2)=n(n+1)

m^2+2m=n^2+n

m^2+2m+1=n^2+n+1

(m+1)^2=n^2+n+1;

n^2<(m+1)^2, значит, n<m+1.

С другой стороны,

(m+1)^2=(n+1)^2-n;

(n+1)^2>(m+1)^2, значит, n+1>m+1.

Получим:

n<m+1<n+1. Это означает, что между двумя последовательными натуральными числами n и n+1 "поместилось" не равное им число m+1, а это невозможно.

Значит, \mid a-b\mid \neq 0

Пусть Петя взял четное натуральное число n, и Вася взял то же самое число (Смотри пункт (а)).

Тогда \mid a-b\mid =\mid n(n+1)-n(n+2)\mid =\mid  2n-n\mid =n.

Значит, значение выражения \mid a-b\mid — все четные натуральные числа.

Ответ: а) да
б) нет
в) все четные натуральные числа.

Смотреть все задачи варианта

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить