Условие задачи
Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону
\(h(t)=-5 t^2+9 t+2 ,\) где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько процентов от времени всего полета мяч будет находиться на высоте не более 6 метров?
Решение
Запишем, что \(h(t) \leq 6\):
\(-5 t^2+9 t+2 \leq 6\)
Построим график функции в левой части – то есть зависимость высоты мяча от времени.
Решим уравнение
\(-5 t^2+9 t+2=6\)
Его корни \(t_1 = 0,8\) и \(t_2 = 1.\)
Мы видим, что через \(t_1=0,8\) секунд после начала полёта мяч оказался на высоте 6 метров. Мяч продолжал лететь вверх, высота увеличивалась. Затем началось снижение, высота уменьшалась, и в момент времени \(t_2=1\) снова стала равна 6 метрам над землей. Получается, что мяч находился на высоте не менее 6 метров в течение \( t=t_2- t_1=0,2\) секунд.
Осталось найти время полета.
Полет мяча заканчивается, когда он падает на землю, то есть его высота становится равной нулю.
Решим квадратное уравнение \(-5 t^2+9 t+2=0 \)
Его корни
\(t_1 = - 0,2\); \(t_2 = 2. \) Значит, время полета равно 2 секунды. Из этих двух секунд мяч находился на высоте более 6 метров в течение 0,2 секунд, и это было 10% времени полета. Остальные 90% времени полета мяч был на высоте не более 6 метров.
Ответ: 90
