Условие задачи
Анна Малкова
При каких значениях параметра а уравнение
\(\sqrt {x^2-4ax+4a^2 }-\sqrt {x^2+6ax+9a^2 }=4 sinx \)
имеет бесконечно много решений?
Решение
Начнём с левой части уравнения. Рассмотрим функцию
\(y(x) = \sqrt{x^2-4ax+4a^2} - \sqrt{x^2+6ax+9a^2} = \)
\(= \sqrt{(x-2a)^2} - \sqrt{(x+3a)^2} = |x-2a| - |x+3a| \)
Построим график функции
\(y(x) = |x-2a| - |x+3a| \) (разность модулей)
1) пусть \(a \, \textgreater \, 0 \)
2) При \(a=0 \, \, \, \, \, y=0 \) уравнение имеет бесконечно много решений.
3) \(a \, \textless \, 0 \)
В случаях \(a \ne 0\) получим:
\(\displaystyle \left[ \begin{gathered} \left\{\begin{gathered} a \, \textgreater \, 0\\ -5a \leq y\leq 5a \end{gathered}\right. \\ \left\{\begin{gathered} a \, \textless \, 0\\ 5a\leq y \leq -5a \end{gathered}\right. \\ \end{gathered} \right.\)
Чтобы уравнение имело бесконечно много решений, необходимо и достаточно, чтобы график \(y(x)=4sin x \) пересекал горизонтальные участки графика \(y = f(x). \)
Это происходит, если \(5|a| \leq 4, \)
\(\displaystyle |a| \leq \frac{4}{5}. \)
Ответ
\(\displaystyle |a| \leq \frac{4}{5}. \)
