Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 4. Задание 18. Решение

Условие задачи

Анна Малкова
При каких значениях параметра а уравнение
$\sqrt {x^2-4ax+4a^2 }-\sqrt {x^2+6ax+9a^2 }=4 sinx$

имеет бесконечно много решений?

Решение

Начнём с левой части уравнения. Рассмотрим функцию

$y(x) = \sqrt{x^2-4ax+4a^2} - \sqrt{x^2+6ax+9a^2} =$

$= \sqrt{(x-2a)^2} - \sqrt{(x+3a)^2} = |x-2a| - |x+3a|$

Построим график функции

$y(x) = |x-2a| - |x+3a|$ (разность модулей)

1) пусть $a \, \textgreater \, 0$

2) При $a=0 \, \, \, \, \, y=0$ уравнение имеет бесконечно много решений.

3) $a \, \textless \, 0$

В случаях $a \ne 0$ получим:

$\displaystyle \left[ \begin{gathered} \left\{\begin{gathered} a \, \textgreater \, 0\\ -5a \leq y\leq 5a \end{gathered}\right. \\ \left\{\begin{gathered} a \, \textless \, 0\\ 5a\leq y \leq -5a \end{gathered}\right. \\ \end{gathered} \right.$

Чтобы уравнение имело бесконечно много решений, необходимо и достаточно, чтобы график $y(x)=4sin x$ пересекал горизонтальные участки графика $y = f(x).$

Это происходит, если $5|a| \leq 4,$

$\displaystyle |a| \leq \frac{4}{5}.$

Ответ

$\displaystyle |a| \leq \frac{4}{5}.$

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 4. Задание 18. Решение

Это полезно