previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 4. Задание 18. Решение

 

Условие задачи

Анна Малкова
При каких значениях параметра а уравнение
\sqrt {x^2-4ax+4a^2 }-\sqrt {x^2+6ax+9a^2 }=4 sinx

имеет бесконечно много решений?

 

Решение

Начнём с левой части уравнения. Рассмотрим функцию

y(x) = \sqrt{x^2-4ax+4a^2} - \sqrt{x^2+6ax+9a^2} =

= \sqrt{(x-2a)^2} - \sqrt{(x+3a)^2} = |x-2a| - |x+3a|

Построим график функции

y(x) = |x-2a| - |x+3a| (разность модулей)

1) пусть a \, \textgreater \, 0

2) При a=0 \, \, \, \, \, y=0 уравнение имеет бесконечно много решений.

3) a \, \textless \, 0

В случаях a \ne 0 получим:

\displaystyle \left[ \begin{gathered} \left\{\begin{gathered} a \, \textgreater \, 0\\ -5a \leq y\leq 5a \end{gathered}\right. \\ \left\{\begin{gathered} a \, \textless \, 0\\ 5a\leq y \leq -5a \end{gathered}\right. \\ \end{gathered} \right.

Чтобы уравнение имело бесконечно много решений, необходимо и достаточно, чтобы график y(x)=4sin x пересекал горизонтальные участки графика y = f(x).

Это происходит, если 5|a| \leq 4,

\displaystyle |a| \leq \frac{4}{5}.

 

Ответ

\displaystyle |a| \leq \frac{4}{5}.