previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 4. Задание 18. Решение

 

Условие задачи

Анна Малкова
При каких значениях параметра а уравнение
\(\sqrt {x^2-4ax+4a^2 }-\sqrt {x^2+6ax+9a^2 }=4 sinx \)

имеет бесконечно много решений?

 

Решение

Начнём с левой части уравнения. Рассмотрим функцию

\(y(x) = \sqrt{x^2-4ax+4a^2} - \sqrt{x^2+6ax+9a^2} = \)

\(= \sqrt{(x-2a)^2} - \sqrt{(x+3a)^2} = |x-2a| - |x+3a| \)

Построим график функции

\(y(x) = |x-2a| - |x+3a| \) (разность модулей)

1) пусть \(a \, \textgreater \, 0 \)

2) При \(a=0 \, \, \, \, \, y=0 \) уравнение имеет бесконечно много решений.

3) \(a \, \textless \, 0 \)

В случаях \(a \ne 0\) получим:

\(\displaystyle \left[ \begin{gathered} \left\{\begin{gathered} a \, \textgreater \, 0\\ -5a \leq y\leq 5a \end{gathered}\right. \\ \left\{\begin{gathered} a \, \textless \, 0\\ 5a\leq y \leq -5a \end{gathered}\right. \\ \end{gathered} \right.\)

Чтобы уравнение имело бесконечно много решений, необходимо и достаточно, чтобы график \(y(x)=4sin x \) пересекал горизонтальные участки графика \(y = f(x). \)

Это происходит, если \(5|a| \leq 4, \)

\(\displaystyle |a| \leq \frac{4}{5}. \)

 

Ответ

\(\displaystyle |a| \leq \frac{4}{5}. \)