Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 4. Задание 6. Решение

Условие задачи

Прямая, параллельная основаниям АD и ВС трапеции АВСD и проходящая через точку пересечения ее диагоналей, пересекает боковые стороны трапеции в точках М и N. Найдите МN, если AD = 7, BC = 3.

Решение

Обозначим $AD=a, \, BC=b.$

$\displaystyle \triangle ABD \sim \triangle MBP$ по 2 углам;

$\displaystyle \frac{MP}{AP} = \frac{BP}{BD};$ (1)

$\displaystyle \triangle BCP \sim \triangle DAP$ по двум углам;

$\displaystyle \frac{BC}{AD} = \frac{BP}{PD} = \frac{PC}{AP} = k$ (2)

Тогда $PC = k \cdot AP, \, \, \, BP = k \cdot PD.$

Также $\displaystyle \triangle ACD \sim \triangle PCN,$

$\displaystyle \frac{PN}{AD} = \frac{CP}{AC}$ (3)

Сложим равенства (1) и (3)

$\displaystyle \frac{MP+PN}{a} = \frac{BP}{BD} + \frac{CP}{AC}$

$\displaystyle \frac{PN}{AD} + \frac{MP}{AD} = \frac{MN}{a} = \frac{k \cdot PD}{PD+k \cdot PD} + \frac{k \cdot AP}{(k+1)\cdot AP} = \frac{2k}{k+1}.$

Из равенства (2):

$\displaystyle k = \frac{PC}{AP} = \frac{BC}{AD} = \frac{b}{a}.$

получим:

$\displaystyle \frac{MN}{a} = \frac{2b}{a(\frac{b}{a}+1)} = \frac{2ab}{a+b}$

Подставив $\displaystyle a=AD=7, \, \, b=BC=3,$

получим: $\displaystyle MN = \frac{2\cdot 7 \cdot 3}{7+3} = \frac{42}{10} = 4,2$

Ответ

4,2

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 4. Задание 6. Решение» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 13.03.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 4. Задание 6. Решение

Это полезно