previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 4. Задание 6. Решение

 

Условие задачи

Прямая, параллельная основаниям АD и ВС трапеции АВСD и проходящая через точку пересечения ее диагоналей, пересекает боковые стороны трапеции в точках М и N. Найдите МN, если AD = 7, BC = 3.

 

Решение

Обозначим AD=a, \, BC=b.

\displaystyle \triangle ABD \sim \triangle MBP по 2 углам;

\displaystyle \frac{MP}{AP} = \frac{BP}{BD}; (1)

\displaystyle \triangle BCP \sim \triangle DAP по двум углам;

\displaystyle \frac{BC}{AD} = \frac{BP}{PD} = \frac{PC}{AP} = k (2)

Тогда PC = k \cdot AP, \, \, \, BP = k \cdot PD.

Также \displaystyle \triangle ACD \sim \triangle PCN,

\displaystyle \frac{PN}{AD} = \frac{CP}{AC} (3)

Сложим равенства (1) и (3)

\displaystyle \frac{MP+PN}{a} = \frac{BP}{BD} + \frac{CP}{AC}

\displaystyle \frac{PN}{AD} + \frac{MP}{AD} = \frac{MN}{a} = \frac{k \cdot PD}{PD+k \cdot PD} + \frac{k \cdot AP}{(k+1)\cdot AP} = \frac{2k}{k+1}.

Из равенства (2):

\displaystyle k = \frac{PC}{AP} = \frac{BC}{AD} = \frac{b}{a}.

получим:

\displaystyle \frac{MN}{a} = \frac{2b}{a(\frac{b}{a}+1)} = \frac{2ab}{a+b}

Подставив \displaystyle a=AD=7, \, \, b=BC=3,

получим: \displaystyle MN = \frac{2\cdot 7 \cdot 3}{7+3} = \frac{42}{10} = 4,2

 

Ответ

4,2