Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 16. Решение

Условие задачи

Дмитрий Мухин На стороне BC параллелограмма ABCD выбрали точку M, а на стороне CD выбрали точку N так, что BM:MC=DN:NC=2:1.

а) Докажите, что площадь четырехугольника AMCN втрое меньше площади параллелограмма ABCD.

б) Найдите площадь параллелограмма, если BM=8,MN=3,NC=2.

Решение

Проведём диагональ AC. Заметим, что

$\displaystyle \frac{S_{AMC}}{S_{ABC}} = \frac{MC}{BC} = \frac{1}{3} \Rightarrow S_{AMC} = \frac{1}{3}S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{6}S_{ABCD}$

Аналогично, $\displaystyle \frac{S_{ANC}}{S_{ADC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow S_{ADC} = \frac{1}{6}S_{ABCD} \Rightarrow S_{AMCN} = \frac{1}{3}S_{ABCD}$ ч.т.д.

б) $\displaystyle \frac{BM}{MC} = \frac{DN}{NC} \Rightarrow MN \parallel BD,$ т.к. $\triangle BCD \sim \triangle MCN$

$\displaystyle \frac{BM}{MC} = \frac{2}{1} \Rightarrow MC = 4.$ Тогда, по формуле Герона,

$\displaystyle S_{MCN} = \sqrt{\frac{9}{2} \cdot (\frac{3}{2}-2)(\frac{9}{2}-3)(\frac{9}{2}-4)} = \frac{\sqrt{9 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}}{4} = \frac{3 \sqrt {15}}{4}$

$\displaystyle \triangle BCD$ и $\triangle MCN$ подобны с коэффициентом 3:1, поэтому $\displaystyle S_{BCD} = 3^2 \cdot \frac{3\sqrt{15}}{4} = \frac{27\sqrt{15}}{4}$

$\displaystyle S_{ABCD} = 2S_{BCD} = \frac{27\sqrt{15}}{2}.$

Ответ

$\displaystyle \frac{27\sqrt{15}}{2}.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 16. Решение» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 29.05.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 16. Решение

Это полезно