Условие задачи
Дмитрий Мухин На стороне BC параллелограмма ABCD выбрали точку M, а на стороне CD выбрали точку N так, что BM:MC=DN:NC=2:1.
а) Докажите, что площадь четырехугольника AMCN втрое меньше площади параллелограмма ABCD.
б) Найдите площадь параллелограмма, если BM=8,MN=3,NC=2.
Решение
Проведём диагональ AC. Заметим, что
\(\displaystyle \frac{S_{AMC}}{S_{ABC}} = \frac{MC}{BC} = \frac{1}{3} \Rightarrow S_{AMC} = \frac{1}{3}S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{6}S_{ABCD}\)
Аналогично, \(\displaystyle \frac{S_{ANC}}{S_{ADC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow S_{ADC} = \frac{1}{6}S_{ABCD} \Rightarrow S_{AMCN} = \frac{1}{3}S_{ABCD}\) ч.т.д.
б) \(\displaystyle \frac{BM}{MC} = \frac{DN}{NC} \Rightarrow MN \parallel BD,\) т.к. \(\triangle BCD \sim \triangle MCN\)
\(\displaystyle \frac{BM}{MC} = \frac{2}{1} \Rightarrow MC = 4.\) Тогда, по формуле Герона,
\(\displaystyle S_{MCN} = \sqrt{\frac{9}{2} \cdot (\frac{3}{2}-2)(\frac{9}{2}-3)(\frac{9}{2}-4)} = \frac{\sqrt{9 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}}{4} = \frac{3 \sqrt {15}}{4}\)
\(\displaystyle \triangle BCD\) и \(\triangle MCN \) подобны с коэффициентом 3:1, поэтому \(\displaystyle S_{BCD} = 3^2 \cdot \frac{3\sqrt{15}}{4} = \frac{27\sqrt{15}}{4}\)
\(\displaystyle S_{ABCD} = 2S_{BCD} = \frac{27\sqrt{15}}{2}.\)
Ответ
\(\displaystyle \frac{27\sqrt{15}}{2}.\)
