previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 7. Задание 16. Решение

 

Условие задачи

Дмитрий Мухин На стороне BC параллелограмма ABCD выбрали точку M, а на стороне CD выбрали точку N так, что BM:MC=DN:NC=2:1.

а) Докажите, что площадь четырехугольника AMCN втрое меньше площади параллелограмма ABCD.

б) Найдите площадь параллелограмма, если BM=8,MN=3,NC=2.

 

Решение

Проведём диагональ AC. Заметим, что

\displaystyle \frac{S_{AMC}}{S_{ABC}} = \frac{MC}{BC} = \frac{1}{3} \Rightarrow S_{AMC} = \frac{1}{3}S_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{6}S_{ABCD}

Аналогично, \displaystyle \frac{S_{ANC}}{S_{ADC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow S_{ADC} = \frac{1}{6}S_{ABCD} \Rightarrow S_{AMCN} = \frac{1}{3}S_{ABCD} ч.т.д.

б) \displaystyle \frac{BM}{MC} = \frac{DN}{NC} \Rightarrow MN \parallel BD, т.к. \triangle BCD \sim \triangle MCN

\displaystyle \frac{BM}{MC} = \frac{2}{1} \Rightarrow MC = 4. Тогда, по формуле Герона,

\displaystyle S_{MCN} = \sqrt{\frac{9}{2} \cdot (\frac{3}{2}-2)(\frac{9}{2}-3)(\frac{9}{2}-4)} = \frac{\sqrt{9 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}}{4} = \frac{3 \sqrt {15}}{4}

\displaystyle \triangle BCD и \triangle MCN подобны с коэффициентом 3:1, поэтому \displaystyle S_{BCD} = 3^2 \cdot \frac{3\sqrt{15}}{4} = \frac{27\sqrt{15}}{4}

\displaystyle S_{ABCD} = 2S_{BCD} = \frac{27\sqrt{15}}{2}.

 

Ответ

\displaystyle \frac{27\sqrt{15}}{2}.