Условие задачи
Елена Любецкая
Найдите значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет натуральные корни:
\(\displaystyle \frac{1-\sqrt{a-4log^2_4x}}{log_{4}x}=2\)
Решение
Сделаем замену \(log_4 x = t.\)
Получим:
\(\displaystyle \frac{1 - \sqrt{a-4t^2}}{t} = 2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{a-4t^2} = 1 - 2t\\t \ne 0 \end{matrix}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix} a-4t^2 = 1+4t^2 -4t\\t \ne 0 \\1-2t \geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8t^2 -4t +1 -a =0\\t\leq \frac{1}{2} \\t \ne0 \end{matrix}\right.\)
Исходное уравнение должно иметь натуральные корни
При этом \(\displaystyle \left\{\begin{matrix} log_4 x \leq \frac{1}{2}\\log_4 x \ne 0 \end{matrix}\right.\)
Это значит, что \(\left\{\begin{matrix} 0 \, \textless\, x \leq 2 \\x\ne 1. \end{matrix}\right.\)
Возможно единственное натуральное значение \(x=2.\) При этом
\(\displaystyle log_4 2 = \frac{1}{2},\)
\(a=8t^2 -4t +1 = 2 -2+1=1.\)
Ответ
1
