previous arrow
next arrow
Slider

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 9. Задание 18. Решение

Условие задачи

Елена Любецкая

Найдите значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет натуральные корни:

\displaystyle \frac{1-\sqrt{a-4log^2_4x}}{log_{4}x}=2

Решение

Сделаем замену log_4 x = t.

Получим:

\displaystyle \frac{1 - \sqrt{a-4t^2}}{t} = 2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{a-4t^2} = 1 - 2t\\t \ne 0 \end{matrix}\right.

\displaystyle \left\{\begin{matrix} a-4t^2 = 1+4t^2 -4t\\t \ne 0 \\1-2t \geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8t^2 -4t +1 -a =0\\t\leq \frac{1}{2} \\t \ne0 \end{matrix}\right.

Исходное уравнение должно иметь натуральные корни

При этом \displaystyle \left\{\begin{matrix} log_4 x \leq \frac{1}{2}\\log_4 x \ne 0 \end{matrix}\right.

Это значит, что \left\{\begin{matrix} 0 \, \textless\, x \leq 2 \\x\ne 1. \end{matrix}\right.

Возможно единственное натуральное значение x=2. При этом

\displaystyle log_4 2 = \frac{1}{2},

a=8t^2 -4t +1 = 2 -2+1=1.

Ответ

1