Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 9. Задание 18. Решение

Условие задачи

Елена Любецкая

Найдите значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет натуральные корни:

$\displaystyle \frac{1-\sqrt{a-4log^2_4x}}{log_{4}x}=2$

Решение

Сделаем замену $log_4 x = t.$

Получим:

$\displaystyle \frac{1 - \sqrt{a-4t^2}}{t} = 2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{a-4t^2} = 1 - 2t\\t \ne 0 \end{matrix}\right.$

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} a-4t^2 = 1+4t^2 -4t\\t \ne 0 \\1-2t \geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8t^2 -4t +1 -a =0\\t\leq \frac{1}{2} \\t \ne0 \end{matrix}\right.$

Исходное уравнение должно иметь натуральные корни

При этом $\displaystyle \left\{\begin{matrix} log_4 x \leq \frac{1}{2}\\log_4 x \ne 0 \end{matrix}\right.$

Это значит, что $\left\{\begin{matrix} 0 \, \textless\, x \leq 2 \\x\ne 1. \end{matrix}\right.$

Возможно единственное натуральное значение $x=2.$ При этом

$\displaystyle log_4 2 = \frac{1}{2},$

$a=8t^2 -4t +1 = 2 -2+1=1.$

Ответ

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 9. Задание 18. Решение» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 20.03.2023

Тренинги по решению вариантов ЕГЭ — 2020. Вариант 9. Задание 18. Решение

Это полезно