previous arrow
next arrow
Slider

ЕГЭ-2022 Вариант 8

Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=e0ESKbjsl5o\&t=3940s

Часть 1. Задания с кратким ответом

1. Анна Малкова

Решите уравнение \displaystyle \frac{2}{3}x^2=-7\frac{2}{3}x.

Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите меньший корень.

 

2. В лифт 11-этажного бизнес-центра на 1 этаже входят 4 человека. Предположим, что каждый из них может выйти на любом этаже, начиная со второго. Найдите вероятность того, что все они выйдут на разных этажах.

 

3. Елена Любецкая

В равнобедренном треугольнике АВС на основании АВ взята произвольная точка К. Через К и вершину, противолежащую основанию, провели прямую. Радиус окружности, описанной вокруг треугольника ACK, равен 8. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника BCK.

4. Найдите значение выражения:

\displaystyle \sqrt{(\sqrt{5}-log_3 9)\cdot \left(\sqrt{5}+log_{12}144\right)}+\frac{7 cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+3 cos\left(\frac{3\pi}{2}-x \right)}{sin \left(\pi - x \right)}

 

5. Анна Малкова

В правильной восьмиугольной пирамиде радиус окружности, описанной вокруг основания, равен 3, высота равна 7\sqrt{2}. Найдите объем пирамиды.

 

6. На рисунке изображен график F(x) — первообразной некоторой функции f(x). На оси абсцисс отмечено 8 точек: x_1,\ \ x_2,\ {\ x}_3,\ \ x_4,\ \ x_5,\ {\ x}_6,\ {\ x}_7,\ {\ x}_8. В скольких из этих точек функция f(x) принимает положительные значения? В ответ запишите количество точек.

 

7. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от 1 до 5.

Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

\displaystyle R=\frac{2In+Op+3Tr+Q}{A}.

Каким должно быть число A, чтобы издание, у которого все оценки наибольшие, получило бы рейтинг 1?

8. Александра Антонова

В городе N в 2010 г. количество детей относилось к количеству взрослых в отношении 2:3. В 2020 г. это отношение стало соответственно 5:8. Известно, что количество взрослых с 2010 по 2020 год возросло на 80%, а количество детей увеличилось на 55 тыс. Сколько человек составляло население города в 2010 г.?

 

9. На рисунке изображён график функции вида \displaystyle f\left(x\right)=\frac{ax+b}{x+c},\ где числа a, b и c — целые. Найдите b.

 

10. Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши уже есть две разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё 2 или 3 шоколадных яйца?

 

11. Найдите наименьшее значение функции y=e^{2x}-4e^x+6\ на отрезке [0;3].

 

Часть 2. Задания с развернутым ответом.

12. а) Решите уравнение:

\displaystyle \frac{1}{{sin}^2\pi x} - \frac{3}{{cos\ (\frac{11{\pi }^{\ }}{2}\ +\ \pi x)\ }\ }=-2

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2; -0,5].

 

13. В основании правильной треугольной призмы {ABCA}_{1}{B}_{1}{C}_{1} лежит треугольник ABC. На прямой {AA}_{1} отмечена точка D так, что {A}_{1} — середина AD. На прямой {B}_{1}{C}_{1} отмечена точка E так, что {C}_{1} — середина {B}_{1}E.

а) Докажите, что прямые {A}_{1}{B}_{1} и DE перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми AB и DE, если AB = 4, а {AA}_{1}=1.

 

14. Анна Малкова

Решите неравенство: \sqrt{{{log}_5 x\ }} + 2\sqrt{{{log}_x 5\ }}\geq 3

 

15. Александра Антонова

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на n лет.

Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

На сколько рублей пятый платеж отличается от восьмого платежа, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита равна 20,4 млн рублей?

 

16. Антон Акимов

В трапеции ABCD точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Известно, что AD = 14, CM = 5, AN = 5, а высота трапеции равна 8.
а) Докажите, что около трапеции ABCD нельзя описать окружность.
б) Известно, что АD \textgreater BC. Найдите площадь трапеции ABCD.

 

17. Анна Малкова

При каких значениях параметра а уравнение {sin (\pi (\sqrt{a-x^2}-x)\ })=0

имеет ровно 2 решения?

 

18. а) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трехчлена x^2+mx+n равен 17?

б) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трехчлена x^2+mx+n равен 54?

в) Какое наименьшее значение принимает дискриминант D квадратного трехчлена x^2+\left(3m+n\right)x+\left(3n+m\right),\ если известно, что числа m, n и D — натуральные?

Посмотреть решения задач варианта 8.