Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=e0ESKbjsl5o\&t=3940s
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Елена Любецкая
В равнобедренном треугольнике АВС на основании АВ взята произвольная точка К. Через К и вершину, противолежащую основанию, провели прямую. Радиус окружности, описанной вокруг треугольника ACK, равен 8. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника BCK.
2. Анна Малкова
В правильной восьмиугольной пирамиде радиус окружности, описанной вокруг основания, равен 3, высота равна \(7\sqrt{2}.\) Найдите объем пирамиды.
3. В лифт 11-этажного бизнес-центра на 1 этаже входят 4 человека. Предположим, что каждый из них может выйти на любом этаже, начиная со второго. Найдите вероятность того, что все они выйдут на разных этажах.
4. Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши уже есть две разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё 2 или 3 шоколадных яйца?
5. Анна Малкова
Решите уравнение \(\displaystyle \frac{2}{3}x^2=-7\frac{2}{3}x.\)
Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите меньший корень.
6. Найдите значение выражения:
\( \displaystyle \sqrt{(\sqrt{5}-log_3 9)\cdot \left(\sqrt{5}+log_{12}144\right)}+\frac{7 cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+3 cos\left(\frac{3\pi}{2}-x \right)}{sin \left(\pi - x \right)} \)
7. На рисунке изображен график F(x) — первообразной некоторой функции f(x). На оси абсцисс отмечено 8 точек: \(x_1,\ \ x_2,\ {\ x}_3,\ \ x_4,\ \ x_5,\ {\ x}_6,\ {\ x}_7,\ {\ x}_8.\) В скольких из этих точек функция f(x) принимает положительные значения? В ответ запишите количество точек.
8. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от 1 до 5.
Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид
\(\displaystyle R=\frac{2In+Op+3Tr+Q}{A}.\)
Каким должно быть число A, чтобы издание, у которого все оценки наибольшие, получило бы рейтинг 1?
9. Александра Антонова
В городе N в 2010 г. количество детей относилось к количеству взрослых в отношении 2:3. В 2020 г. это отношение стало соответственно 5:8. Известно, что количество взрослых с 2010 по 2020 год возросло на 80%, а количество детей увеличилось на 55 тыс. Сколько человек составляло население города в 2010 г.?
10. На рисунке изображён график функции вида \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{ax+b}{x+c},\ \) где числа a, b и c — целые. Найдите b.
11. Найдите наименьшее значение функции \(y=e^{2x}-4e^x+6\ \) на отрезке \([0;3].\)
Часть 2. Задания с развернутым ответом.
12. а) Решите уравнение:
\(\displaystyle \frac{1}{{sin}^2\pi x} - \frac{3}{{cos\ (\frac{11{\pi }^{\ }}{2}\ +\ \pi x)\ }\ }=-2\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2; -0,5].
13. В основании правильной треугольной призмы \({ABCA}_{1}{B}_{1}{C}_{1}\) лежит треугольник ABC. На прямой \({AA}_{1}\) отмечена точка D так, что \({A}_{1}\) — середина AD. На прямой \({B}_{1}{C}_{1}\) отмечена точка E так, что \({C}_{1}\) — середина \({B}_{1}E\).
а) Докажите, что прямые \({A}_{1}{B}_{1}\) и DE перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AB и DE, если AB = 4, а \({AA}_{1}=1.\)
14. Анна Малкова
Решите неравенство: \(\sqrt{{{log}_5 x\ }}\) + \(2\sqrt{{{log}_x 5\ }}\geq 3\)
15. Александра Антонова
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на n лет.
Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
На сколько рублей пятый платеж отличается от восьмого платежа, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита равна 20,4 млн рублей?
16. Антон Акимов
В трапеции ABCD точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Известно, что AD = 14, CM = 5, AN = 5, а высота трапеции равна 8.
а) Докажите, что около трапеции ABCD нельзя описать окружность.
б) Известно, что АD \(\textgreater \) BC. Найдите площадь трапеции ABCD.
17. Анна Малкова
При каких значениях параметра а уравнение \({sin (\pi (\sqrt{a-x^2}-x)\ })=0\)
имеет ровно 2 решения?
18. а) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трехчлена \(x^2+mx+n\) равен 17?
б) Существуют ли натуральные числа m и n, такие, что дискриминант квадратного трехчлена \(x^2+mx+n\) равен 54?
в) Какое наименьшее значение принимает дискриминант D квадратного трехчлена \(x^2+\left(3m+n\right)x+\left(3n+m\right),\ \)если известно, что числа m, n и D — натуральные?
Посмотреть решения задач варианта 8.
