Видеоразбор: https://www.youtube.com/watch?v=pPIPqQSIxY0&t;t\&t=6712s
и https://www.youtube.com/watch?v=GFlLWF2jXBk&t;t\&t=48s
Часть 1. Задания с кратким ответом
1. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 56° и 77°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ выразите в градусах.
2. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\).
3. Объем правильной пирамиды \(SABCDEF\) равен 18.
Найдите объем пирамиды \(SACDF\).
4. Анна Малкова
Среди учащихся 11-х классов школы 100 человек сдают ЕГЭ по математике Профильного уровня. 55 из 100 готовятся к нему на курсах или с репетитором, 35 – самостоятельно, остальные не готовятся, но верят, что все будет хорошо.
По статистике, собранной за несколько лет учителем математики этой школы, вероятность написать Пробный ЕГЭ в ноябре не ниже 70 баллов равна 0,8 для тех, кто занимается на курсах или с репетитором. Для тех, кто готовится самостоятельно, вероятность написать Пробный не ниже 70 баллов равна 0,6. Для тех, кто не готовится, вероятность получить на Пробном не ниже 70 баллов равна 0,2.
В ноябре 2022 года все 100 учащихся написали Пробный ЕГЭ. Учитель математики берет на проверку случайно выбранную работу учащегося. С какой вероятностью эта работа будет оценена не ниже, чем в 70 баллов?
5. Анна Малкова
Предположим, что в условиях предыдущей задачи учитель математики проверил случайно выбранную работу и поставил за нее 72 балла. С какой вероятностью эта работа написана учеником, который никак не готовился к ЕГЭ по математике?
Результат округлите до сотых.
6. Решите уравнение: \(log_2(2^x-8)=3\).
7. Александра Антонова
Найдите значение выражения: \(\frac{1}{2}+8\sqrt{2}sin\frac{\pi}{8}cos\frac{\pi}{8}\).
8. На рисунке изображен график производной функции \(f(x)\), определенной на отрезке [-3; 7]. В какой точке отрезка [1; 5] \(f(x)\) принимает наименьшее значение?
9. Анна Малкова
Ускорение свободного падения (в м/с²) на поверхности планеты рассчитывается по формуле \(g=G\cdot \frac{M_{planety}}{(R_{planety})^2} \) , где \(G\) – гравитационная постоянная, \(G = 6,67\cdot 10^{-11}\) м²/с²∙кг.
Определите ускорение свободного падения на поверхности планеты Файра*, если масса Файры равна \(3,68\cdot 10^{24}\) кг, ее радиус равен \(4,6\cdot 10^{6}\) метров, условия на планете близки к земным.
*Название вымышленное, возможные совпадения случайны.
10. Александра Антонова
Сколько граммов воды нужно добавить к 50 граммов сухого картофельного пюре с содержанием воды 7%, чтобы получить пюре с содержанием воды 85%?
11. На рисунке изображены графики функций \(f(x)=a\sqrt{x}\) и \(g(x)=kx+b\), которые пересекаются в точке А. Найдите ординату точки А.
12. Анна Малкова
Найдите наименьшее значение функции \( g(x)=\frac{x}{x^2+4} \) на отрезке \( [1;3]. \)
Часть 2. Задания с развернутым ответом
13.
а) Решите уравнение: \( sin 2x sin 6x = cos x cos 3x \)
б) Найдите все корни уравнения на отрезке \([0;\frac{\pi}{2} ].\)
14. Анна Малкова
Дан куб \(A...D_1\). Точка \(E\) – середина ребра \(AD\), точка \(F\) – середина ребра \(CC_1\). Плоскость, проходящая через точки \(E, F\) и \(A_1\), пересекает ребро \(CD\) в точке \(N\).
а) Докажите, что \(DN :CN = 2 : 1\).
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания куба. В ответе запишите тангенс этого угла.
15. Александра Антонова
Решите неравенство: \(log_7(49x^2-25)-log_7 x\leqslant log_7(50x-\frac{9}{x}-10)\).
16. Анна Малкова
Задумав разбогатеть, Валентина Петровна основаластартап под названием «Всем банан».
1 ноября Валентина Петровна закупила 2 тонны бананов. Ежедневно с утра, начиная со 2 ноября, она развозит их по отдаленным деревням и продает по цене, в 5 раз превышающей закупочную.
Заботясь о потребителе, Валентина Петровна каждое утро, начиная со 2 ноября, перед началом торговли проверяет состояние бананов и находит, что 10% из них испортились и не годятся для продажи. Валентина Петровна выбрасывает испорченные бананы и продает хорошие, причем каждый день ей удается продать 250 кг бананов.
Сколько дней Валентине Петровне придется с утра продавать бананы, чтобы распродать все 2 тонны?
17. Анна Малкова
Остроугольный треугольник \(ABC\), в котором угол \(A\) равен 60 градусам, вписан в окружность. Известны длины сторон треугольника: \(AB = 5\), \(AC = 7\). Биссектриса \(AE\) треугольника \(ABC\) пересекает описанную окружность в точке \(L\). Медиана треугольника \(ABC\), проведенная к стороне \(BC\), пересекает эту окружность в точке \(M\), а его высота, проведенная к \(BC\), пересекает ту же окружность в точке \(H\).
а) Докажите, что точка \(L\) лежит между точками \(H\) и \(M\).
б) Найдите \(AE\cdot EL\).
18. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система
\(\left\{\begin{matrix}
y(y+1)\leqslant 0 \\
3x^2+3y^2-6a(x+y)+5a^2-6x+4a+3=0 \end{matrix}\right.\)
имеет единственное решение.
19. Полина записала несколько различных натуральных чисел, все цифры которых нечетны, после чего нашла сумму этих чисел и обозначила ее через S.
а) Может ли сумма цифр числа S быть нечетным числом, если Полина записала ровно четыре числа?
б) Может ли произведение цифр числа S быть нечетным числом, если S > 1000?
в) Пусть десятичная запись числа S состоит из 2021 цифры. Какое наименьшее натуральное значение может принимать произведение цифр числа S?
Посмотреть решения задач варианта 3.
