previous arrow
next arrow
Slider

Вариант 1

Часть 1. Задания с кратким ответом

1. Анна Малкова На Пробном ЕГЭ по математике Гриша получил некоторое количество баллов. Если бы его результат увеличить на 80%, получилось бы 90 баллов. На сколько баллов Гриша написал Пробный ЕГЭ?

2. На графике показано изменение напряжения на конденсаторе в зависимости по времени. Определите, за какое время напряжение на конденсаторе уменьшилось от 1 В до нуля. Ответ выразите в мс.

3. Ольга Чемезова

В прямоугольном треугольнике ABC длина отрезка AH = 40, tg A = 0,7. Найдите AB.

4. Анна Малкова Маша купила для всей семьи пирожков: 3 с капустой, 3 с вареньем и 4 с рисом. Пирожки лежат в одном пакете и внешне совершенно одинаковы. По дороге домой Маша чувствует непреодолимое желание съесть 2 пирожка, причем разных и не с рисом. С какой вероятностью ей удастся выбрать нужные пирожки из пакета?

5. Решите уравнение x^2-6x+\sqrt{6-x}=\ \sqrt{6-x}+7

Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите больший корень.

6. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

7. На рисунке изображён график функции y=f\left(x\right).\ Найдите количество точек максимума функции y=f\left(x\right) на отрезке [-4; 6]

8. Площадь основания конуса равна 112. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 2 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

9. Найдите значение выражения. \displaystyle \sqrt{32}-\sqrt{128}{{sin}^2 \frac{7\pi }{8}\ }.

10. Анна Малкова

Численность популяции глупых пингвинов описывается уравнением P\left(t\right)=P_0\cdot {1,1}^{kt}, где P_0 — начальная численность популяции, t — время в десятилетиях, прошедшее с момента начала наблюдений. Известно, что через 20 лет после начала наблюдений численность популяции пингвинов увеличилась примерно в 1,331 раза. Найдите k.

11. Анна Малкова

В течение двух месяцев «самоизоляции», вызванной пандемией Covid-19, оборот фирмы предпринимателя Ивана уменьшался на p процентов ежемесячно. Иван подсчитал, что для возвращения к первоначальному уровню оборот необходимо увеличить на 56,25 %. Найдите р.

12. Найдите наибольшее значение функции \displaystyle y=\ \frac{1}{x^2-10x+21} на отрезке [4; 6].

Часть 2. Задания с развернутым ответом

13. Ольга Чемезова

а) Решите уравнение
\displaystyle sin2x+2{sin}^2x=2\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4});
б) Найдите все его корни на отрезке
[-2\pi ; \frac{-\pi} {2}]

14. Анна Малкова

В основании треугольной пирамиды SABC лежит треугольник АВС, причем его углы А, В и С относятся как 1 : 2 : 3, SO — высота пирамиды.

Известно, что SA = SC = АВ = SB

а) Докажите, что треугольники SCO и ABC равны.

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости SAB, если АВ = 8.

15. Решить неравенство
\displaystyle \sqrt{9x+\frac{1}{2x+1}}\cdot \left(9-25x^2\right)\geq 0.

16. Анна Малкова Биссектрисы AA_1,\ BB_1\ и CC_1 треугольника ABC продолжены до пересечения с его описанной окружностью, причем A_1,\ B_1,\ C_1 — точки пересечения.

В треугольнике A_1B_1C_1 углы A_1,\ B_1и C_1 равны 75, 60 и 45 градусов соответственно.

а) Докажите, что AB^2\ =\ \ 2\ A_1B_1^2\

б) Пусть О — центр описанной окружности треугольника АВС, Р — точка пересечения его биссектрис. Найдите угол РОВ. Ответ выразите в градусах.

17. Ольга Чемезова

В начале 2017 года Михаил положил сумму X рублей на депозит в банке. Банк начисляет 10% годовых в конце каждого года на имеющуюся сумму. Начисленные проценты остаются на депозите. В начале 2018 и 2019 годов Михаил пополнял вклад на такую же сумму X, в результате в конце 2019 года сумма на вкладе составила 152922 руб. Найдите сумму X.

18. Анна Малкова Найдите все значения параметра k, при каждом из которых система уравнений
\displaystyle \left\{ \begin{array}{c}{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-a\right)}^2=\frac{a^2}{4} \\y=kx \end{array}\right. 
имеет единственное решение для любого a \textgreater 0.

19. На доске написаны 3 натуральных числа. К первому числу приписали справа цифру 6, ко второму — цифру 9, третье оставили без изменений.

а) Могла ли сумма этих чисел увеличиться в 9 раз?

б) Могла ли сумма этих чисел увеличиться в 19 раз?

в) В какое наибольшее целое число раз могла увеличиться сумма этих чисел?