Линейные неравенства с одной переменной

Если в выражении с переменными вы увидели знак = , то это уравнение.

Если знак < или > или ≤ или ≥ - то это, конечно, неравенство. Решение неравенства - это значение переменной, при котором оно верно.  Например, x=5 является решением неравенства x > 3, а x=0 – не является.

Решить неравенство с одной переменной – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Решением неравенства могут быть точки, интервалы или отрезки.

Если решением неравенства является интервал (−∞; +∞), то x – любое число, от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Значком ∞ в математике обозначается бесконечность.

Приведем примеры.

Например, решением неравенства x < x + 2 является любое число.

Решением неравенства x > 7 будет интервал (7; +∞), то есть от 7 до плюс бесконечности. Сама точка 7 в этот интервал не включается. Когда рядом с числом стоит круглая скобка, значит, само число не является решением.

Ответ можно записать так: x∈(7; +∞).

У нас появился новый символ: ∈. Он читается: принадлежит. В геометрии мы тоже будем его использовать.

А решением неравенства x ≥ 7 будет полуинтервал [7; +∞), здесь точка 7 тоже будет решением.

Ответ записывается так: x∈[7; +∞).

Запомним: число, стоящее рядом с круглой скобкой, в данный промежуток не включается, а число, стоящее рядом с квадратной скобкой, включается в указанный интервал.

Неравенство x < 7 называют строгим. В нем есть знак <, означающий: строго меньше.

А неравенство x ≤ 7 называется нестрогим, в нем присутствует знак ≤. Он означает: меньше или равно.

Также мы рассматриваем двойные неравенства, где в середине x, а с двух сторон от него - числа.

Запись 3 < x < 7 означает, что x находится от 3 до 7, не включая сами эти числа.

Решением неравенства 3 < x < 7 будет интервал (3; 7).

А решением неравенства 3 ≤ x ≤ 7 является отрезок [a, b]. Если x=3 или x=7, неравенство выполняется.

Каждое такое неравенство можно заменить на систему из двух неравенств.

Неравенства, множества решений которых совпадают, называются равносильными.

Например, неравенства x-6 < 1 и  x < 7 равносильны (множество их решений совпадает, это все x < 7).

Линейное неравенство с одной переменной — это неравенство вида ax+b > 0, где a, b — любые числа (a≠0). Вместо знака > могут быть знаки <, ≥, ≤.

Неравенства < 0, ≥ 0, > 0 – являются линейными, неравенство  < 0 не является линейным.

При решении линейных неравенств мы пользуемся правилами:

1) Можно переносить любое слагаемое из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.

2) Можно умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число, и знак неравенства останется прежним.

3) Можно умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный.

Пример 1. Решите неравенство: 2x+7 < -5x-21.

Решение:

Перенесем слагаемые с х в левую часть неравенства, остальные слагаемые – в правую, приведем подобные: 7x < -28. Разделим обе части неравенства на 7, знак неравенства сохранится: x < -4. Ответ: x < -4 или в виде числового промежутка (-∞; -4).

Пример 2. Решите неравенство: 2(x-3)+5(1-x) ≥ 3(2x-5). В ответе укажите наибольшее целое число, являющееся решением неравенства.

Решение:

Раскроем скобки в обеих частях неравенства: 2x-6+5-5x ≥ 6x-15. Перенесем слагаемые с х в левую часть неравенства, остальные слагаемые – в правую, приведем подобные: -9x ≥ -14. Разделим обе части неравенства на -9, при этом знак неравенства изменится, получим: x ≤ . Выделим целую часть в числе . Его можно заисать как . Решением неравенства будет промежуток (-∞; ]. Самое большое целое число, которое входит в этот промежуток, это 1.
Ответ:1.

Пример 3. Решите неравенство: > 0.

Решение:

Раскроем скобки, применив формулу квадрата разности: > 0.

Приведем подобные слагаемые и перенесем число без x в правую часть: -12x > -36. Разделим обе части неравенства на -12, знак неравенства поменяем, получим: x < 3.

Ответ: x < 3 или в виде промежутка (-∞; 3).