previous arrow
next arrow
Slider

Стрим 30 апреля. Домашнее задание. Решение

6. Решите неравенство: \frac{\left | x^2+2x-3 \right |-\left | x^2+3x+5 \right |}{2x+1}\geq 0

Решение.

Согласно методу рационализации, множитель вида   |f|-|g| заменить на f^2- g^2

(не забудьте на ЕГЭ доказать возможность такой замены!)

Учитывая, что f^2- g^2=(f-g)(f+g), получим:

\frac{(x^2+2x-3- x^2-3x-5)(x^2+2x-3+ x^2+3x+5)}{2x+1}\geq 0

\frac{(-x-8) (2x^2+5x+2)}{2x+1}\geq 0

\frac{(x+8) (2x^2+5x+2)}{2x+1}\leq 0

\frac{(x+8)(x+\frac{1}{2})(x+2)}{2x+1}\leq 0

Решив методом интервалов, получим: -8 \leq x \leq -2

Ответ: [-8;-2]

7. Решите неравенство: \frac{\left ( 4x-\left | x-6 \right | \right )\left ( log_{1/3}\left ( x+4 \right )+1 \right )}{2^{x^2 }-2^{\left | x \right |}}\geq 0

Решим неравенство методом замены множителя.

Множитель 2^{x^2}-2^{|x|} можно заменить на (2-1)(x^2-|x|)

(не забудьте доказать соответствующую формулу).

Множитель log_{1/3}(x+4)+1=1-log_{3}(x+4)=-(log_{3}(x+4) -1) заменим на

- (3-1)(x+4-3)=-2(x+1)

Получим:

\frac{(4x-|x-6|)(x+1)}{(x^2-|x|)} \geq 0

Конечно, при этом x+4 \textgreater 0.

Разложив знаменатель на множители, получаем:

\frac{(4x-|x-6|)(x+1)}{|x|(|x|-1)}\geq 0

Решим неравенство с помощью метода интервалов для модулей, раскрыв модули на интервалах. С учетом условия x+4 \textgreater 0 получим ответ:

1 \textless x \leq \frac{6}{5}.

Ответ: (1; \frac{6}{5}] .