Как научиться считать быстро и без калькулятора? Ведь и на ЕГЭ, и на ОГЭ по математике пользоваться калькулятором вы не можете.
Первое, что вам поможет, - это знание таблицы квадратов натуральных чисел. Учите наизусть, как таблицу умножения!
Все мы изучали в средней школе формулы сокращенного умножения. Правда, тогда мы не вполне понимали, зачем нам это надо. Все эти квадраты суммы и разности квадратов… А нужны они для того, чтобы быстро считать. И когда на ЕГЭ по математике на решение варианта у вас всего 3 часа 55 минут, а успеть надо очень много, - эти формулы просто незаменимы.
Как применять эти формулы на практике?
Например,
\(73^{2}=\left ( 70+3 \right )^{2}=4900+420+9=5329;\)
\(63^{2}-62^{2}=\left ( 63-62 \right )\left ( 63+62 \right )=1\cdot 125=125.\)
И более сложная ситуация. Она может вам встретиться в задании 7 Профильного ЕГЭ по математике, если вдруг придется считать площадь криволинейной под графиком функции как разность первообразных.
\(\left ( \left ( -9 \right )^{3} +30\cdot \left ( -9 \right )^{2}+302\cdot \left ( -9 \right )-\displaystyle \frac{15}{8}\right )-\left ( \left ( -11 \right )^{3}+30\cdot \left ( -11 \right )^{2}+302\cdot \left ( -11 \right )-\displaystyle \frac{15}{8} \right )=\)
\(=\left ( -9 \right )^{3}-\left ( -11 \right )^{3}-30\cdot \left ( \left ( -9 \right )^{2}-\left ( -11 \right )^{2} \right )+302\cdot \left ( \left ( -9 \right )-\left ( -11 \right ) \right )=\)
\(=\left ( 11-9 \right )\left ( 11^{2}+11\cdot 9+9^{2} \right )-30\cdot \left ( 11-9 \right )\left ( 11+9 \right )+302\cdot 2=\)
\(=2\cdot 301-30\cdot 40+604=1206-1200=6.\)
Правда, есть и более простое решение этой задачи. И в нем тоже используется одна из формул сокращенного умножения.
А вот и еще один полезный лайфхак:
Числа, оканчивающиеся на 5, в квадрат возводятся мгновенно.
Чтобы найти квадрат числа \(A5\) (\(A\) – не обязательно цифра, любое натуральное число), умножаем \(A\) на \(A+1\) и к результату приписываем 25.
Например, \(45^{2}=2025;\)
\(85^{2}=7225\).
Разберем еще несколько примеров на формулы сокращенного умножения.
1. Вычислите: \(\displaystyle \frac{341^3-218^3}{341^2+341\cdot218+218^2}.\)
Решение:
Применим формулу разности кубов для выражения в числителе.
\(\displaystyle \frac{341^3-218^3}{341^2+341\cdot218+218^2}=\displaystyle \frac{(341-218)(341^2+341\cdot218+218^2)}{341^2+341\cdot218+218^2}=341-218=123.\)
Ответ: \(123\).
2. Вычислите: \(3\cdot\displaystyle \frac{38^{2}-2\cdot 38\cdot 18+18^{2}}{38^{2}-22^{2}}.\)
Решение:
Конечно, мы не будем отдельно вычислять значения выражений в числителе и знаменателе дроби.
Применим формулы сокращенного умножения. В числителе – квадрат разности. В знаменателе – разность квадратов.
\(3\cdot \displaystyle \frac{38^{2}-2\cdot 38\cdot 18+18^{2}}{38^{2}-22^{2}}=\displaystyle \frac{3\cdot (38-18)^{2}}{(38-22)(38+22)}=\displaystyle \frac{3\cdot 20^{2}}{16\cdot 60}=\displaystyle \frac{5}{4}=1,25.\)
Ответ: \(1,25\).
Такие задания могут встретиться в первой части ЕГЭ по математике. А вычисления этого типа – в «экономической» задаче из второй части.
3. Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{9a^2-6a+1}{1-3a+b-3ab},\) если \(a = 47\), \(b = 999\).
Решение:
Числитель дроби является полным квадратом: \(9a^2-6a+1=(3a-1)^2.\)
Знаменатель дроби преобразуем к виду:
\(1-3a+b-3ab=(1+b)-3a(1+b)=(1+b)(1-3a).\)
Получим: \(\displaystyle \frac{9a^2-6a+1}{1-3a+b-3ab}=\displaystyle \frac{(3a-1)^2}{(1+b)(1-3a)}=\displaystyle \frac{(1-3a)^2}{(1+b)(1-3a)}=\displaystyle \frac{1-3a}{1+b}.\)
Если \(a = 47\), \(b = 999\), получаем: \(\displaystyle \frac{1-141}{1+999}=\displaystyle -\frac{140}{1000}=-0,14.\)
4. Найдите значение выражения: \(\displaystyle \frac{y-\sqrt{y}-6}{\sqrt{y}-3}-\sqrt{y}.\)
Решение:
Сделаем замену переменной: \(\sqrt{y}=t,\) тогда \(y=t^2.\)
Запишем выражение в виде: \(\displaystyle \frac{t^2-t-6}{t-3}-t.\)
Квадратный трехчлен \(t^2-t-6\) имеет корни \(t=-2\) и \(t=3,\) поэтому \(t^2-t-6=(t+2)(t-3),\)
\(\displaystyle \frac{t^2-t-6}{t-3}-t=\displaystyle \frac{(t+2)(t-3)}{t-3}-t=t+2-t=2.\)
Ответ: \(2\).
Рассмотрим задачи по теме: разложение на множители. Здесь мы тоже применяем формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы и квадрат разности, разность кубов, сумма кубов… Все это может пригодиться, например, при решении задач с параметрами, а также уравнений и неравенств на ЕГЭ по математике.
Разложите на множители:
5. \((x+y)^2-(x-y)^2.\)
Решение:
Применим формулу разности квадратов.
\((x+y)^2-(x-y)^2=(x+y-(x-y))-(x+y+x-y)=(x+y-x+y)\cdot2x=2y\cdot2x=4xy.\)
6. \(12m^5n+24m^4n+12m^3n.\)
Решение:
Каждое из слагаемых содержит \(m\) в целой степени. Вынесем за скобки \(m^3n.\) Также за скобки можно вынести \(12\). Получим:
\(12m^3n(m^2+2m+1)=12m^3n(m+1)^2.\)
Здесь мы применили формулу квадрата суммы.
7. \(25a^4-4b^2-4b-1.\)
Решение:
Представим выражение в виде: \(25a^4-(4b^2+4b+1).\)
Выражение в скобках – это квадрат суммы. Получим: \((5a^2)^2-(2b+1)^2.\)
Это разность квадратов. Применяем формулу:
\((5a^2)^2-(2b+1)^2=(5a^2-2b-1)(5a^2+2b+1),\) разложили на множители.
8. \(ax^2-2ax-bx^2+2bx-b+a.\)
Решение:
Такое выражение может встретиться в задаче с параметрами. Разложим его на множители:
\(ax^2-2ax-bx^2+2bx-b+a=(ax^2-bx^2)-(2ax-2bx)+(a-b)=x^2(a-b)-2x(a-b)+(a-b)=\)
\(=(a-b)(x^2-2x+1)=(a-b)(x-1)^2.\)
9. \(4x^2-20xy+25y^2-2x+5y.\)
Решение:
Первые три слагаемые образуют полный квадрат:
\(4x^2-20xy+25y^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot5y+(5y)^{2}=(2x-5y)^2.\)
Следовательно,
\(4x^2-20xy+25y^2-2x+5y=(2x-5y)^2-(2x-5y)=(2x-5y)(2x-5y-1).\)
10. \(x^2-9y^2+30yz-25z^2.\)
Решение:
Последние три слагаемые после вынесения знака минус образуют полный квадрат:
\(9y^2-30yz+25z^2=(3y)^2-2\cdot3y\cdot5z+(5z)^2=(3y-5z)^2.\)
Тогда \(x^2-9y^2+30yz-25z^2=x^2-(3y-5z)^2.\)
Воспользуемся формулой разности квадратов и получим:
\(x^2-(3y-5z)^2=(x+3y-5z)(x-(3y-5z))=(x+3y-5z)(x-3y+5z).\)
Ответ: \((x+3y-5z)(x-3y+5z)\).
Формулы сокращенного умножения помогут также при решении уравнений.
11. Решите уравнение: \((2x-1)(4x^2+2x+1)-4x(2x^2-3)=23.\)
Решение:
По формуле разности кубов, \((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3.\)
Тогда
\((2x-1)(4x^2+2x+1)=(2x-1)((2x)^2+2x+1^2)=(2x)^3-1^3=8x^3-1.\)
Подставив в наше уравнение, получим:
\(8x^3-1-4x(2x^2-3)=23;\)
\(8x^3-1-8x^3+12x=23;\)
\(12x=24;\)
\(x=2.\)
Ответ: \(2\).
