previous arrow
next arrow
Slider

Таблица квадратов натуральных чисел. Формулы сокращенного умножения

Как научиться считать быстро и без калькулятора? Ведь и на ЕГЭ, и на ОГЭ по математике пользоваться калькулятором вы не можете.

Первое, что вам поможет, - это знание таблицы квадратов натуральных чисел. Учите наизусть, как таблицу умножения!

Все мы изучали в средней школе формулы сокращенного умножения. Правда, тогда мы не вполне понимали, зачем нам это надо. Все эти квадраты суммы и разности квадратов… А нужны они для того, чтобы быстро считать. И когда на ЕГЭ по математике на решение варианта у вас всего 3 часа 55 минут, а успеть надо очень много, - эти формулы просто незаменимы.

Как применять эти формулы на практике?

Например,

73^{2}=\left ( 70+3 \right )^{2}=4900+420+9=5329;

63^{2}-62^{2}=\left ( 63-62 \right )\left ( 63+62 \right )=1\cdot 125=125.
И более сложная ситуация. Она может вам встретиться в задании 7 Профильного ЕГЭ по математике, если вдруг придется считать площадь криволинейной под графиком функции как разность первообразных.

\left ( \left ( -9 \right )^{3} +30\cdot \left ( -9 \right )^{2}+302\cdot \left ( -9 \right )-\frac{15}{8}\right )-\left ( \left ( -11 \right )^{3}+30\cdot \left ( -11 \right )^{2}+302\cdot \left ( -11 \right )-\frac{15}{8} \right )=

=\left ( -9 \right )^{3}-\left ( -11 \right )^{3}-30\cdot \left ( \left ( -9 \right )^{2}-\left ( -11 \right )^{2} \right )+302\cdot \left ( \left ( -9 \right )-\left ( -11 \right ) \right )=

=\left ( 11-9 \right )\left ( 11^{2}+11\cdot 9+9^{2} \right )-30\cdot \left ( 11-9 \right )\left ( 11+9 \right )+302\cdot 2=

=2\cdot 301-30\cdot 40+604=1206-1200=6

Правда, есть и более простое решение этой задачи. И в нем тоже используется одна из формул сокращенного умножения.

А вот и еще один полезный лайфхак:

Числа, оканчивающиеся на 5, в квадрат возводятся мгновенно.

Чтобы найти квадрат числа A5 (A – не обязательно цифра, любое натуральное число), умножаем A на A+1 и к результату приписываем 25.)

Например, 45^{2}=2025;
85^{2}=7225.

Разберем еще несколько примеров на формулы сокращенного умножения.

1. Вычислите: \frac{341^3-218^3}{341^2+341\cdot218+218^2}

Решение:
Применим формулу разности кубов для выражения в числителе.

\frac{341^3-218^3}{341^2+341\cdot218+218^2}=\frac{(341-218)(341^2+341\cdot218+218^2)}{341^2+341\cdot218+218^2}=341-218=123.

Ответ: 123.

2. Вычислите 3\cdot\frac{38^2-2\cdot38+18^2}{38^22-22^2}

Решение:
Конечно, мы не будем отдельно вычислять значения выражений в числителе и знаменателе дроби.
Применим формулы сокращенного умножения. В числителе – квадрат разности. В знаменателе – разность квадратов.

3\cdot\frac{38^2-2\cdot38+18^2}{38^22-22^2}=\frac{3\cdot(38-18)^2}{(38-22)(38+22)}=\frac{3\cdot20^2}{16\cdot60}=\frac{5}{4}=1,25.

Ответ: 1,25.

Такие задания могут встретиться в первой части ЕГЭ по математике. А вычисления этого типа – в «экономической» задаче из второй части.

3. Найдите значение выражения \frac{9a^2-6a+1}{1-3a+b-3ab}, если a = 47, b = 999.

Решение:
Числитель дроби является полным квадратом; 9a^2-6a+1=(3a-1)^2.

Знаменатель дроби преобразуем к виду:

1-3a+b-3ab=(1+b)-3a(1+b)=(1+b)(1-3a).

Получим: \frac{9a^2-6a+1}{1-3a+b-3ab}=\frac{(3a-1)^2}{(1+b)(1-3a)}=\frac{(1-3a)^2}{(1+b)(1-3a)}=\frac{1-3a}{1+b}

Если a = 47, b = 999, получаем: \frac{1-141}{1+999}=-\frac{140}{1000}=-0,14.

4. Найдите значение выражения: \frac{y-\sqrt{y}-6}{\sqrt{y}-3}-\sqrt{y}.

Решение:
Сделаем замену переменной: \sqrt{y}=t. тогда y=t^2.

Запишем выражение в виде: \frac{t^2-t-6}{t-3}-t.

Квадратный трехчлен t^2-t-6 имеет корни t=-2 и t=3, поэтому t^2-t-6=(t+2)(t-3),

\frac{t^2-t-6}{t-3}-t=\frac{(t+2)(t-3)}{t-3}-t=t+2-t=2.

Ответ: 2.

Рассмотрим задачи по теме: разложение на множители. Здесь мы тоже применяем формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы и квадрат разности, разность кубов, сумма кубов… Все это может пригодиться, например, при решении задач с параметрами, а также уравнений и неравенств на ЕГЭ по математике.

Разложите на множители:

5. (x+y)^2-(x-y)^2

Решение:

Применим формулу разности квадратов.

(x+y)^2-(x-y)^2=(x+y-(x-y))=(x+y+x-y)=(x+y-x+y)\cdot2x=2y\cdot2x=4xy.

6. 12m^5n+24m^4n+12m^3n

Каждое из слагаемых содержит m в целой степени. Вынесем за скобки m^3n.Также за скобки можно вынести 12. Получим:

12m^3n(m^2+2m+1)=12m^3n(m+1)^2.

Здесь мы применили формулу квадрата суммы.

7. 25a^4-4b^2-4b-1

Решение:

Представим выражение в виде: 25a^4-(4b^2+4b+1).

Выражение в скобках – это квадрат суммы. Получим: (5a^2)^2-(2b+1)^2.

Это разность квадратов. Применяем формулу:

(5a^2)^2-(2b+1)^2=(5a^2-2b-1)(5a^2+2b+1), разложили на множители.

8. ax^2-2ax-bx^2+2bx-b+a.

Такое выражение может встретиться в задаче с параметрами. Разложим его на множители:

ax^2-2ax-bx^2+2bx-b+a=(ax^2-bx^2)-(2ax-2bx)+(a-b)=x^2(a-b)-2x(a-b)+(a-b)=(a-b)(x^2-2x+1)=(a-b)(x-1)^2

9. 4x^2-20xy+25y^2-2x+5y.

Решение:
Первые три слагаемые образуют полный квадрат:

4x^2-20xy+25y^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot5y=(2x-5y)^2

Следовательно,

4x^2-20xy+25y^2-2x+5y=(2x-5y)^2-(2x-5y)=(2x-5y)(2x-5y-1).

10. x^2-9y^2+30yz-25z^2.

Решение. Последние три слагаемые после вынесения знака минус образуют полный квадрат:

9y^2-30yz+25z^2=(3y)^2-2\cdot3y\cdot5z+(5z)^2=(3y-5z)^2.

Тогда x^2-9y^2+30yz-25z^2=x^2-(3y-5z)^2

Воспользуемся формулой разности квадратов и получим:

Тогда x^2-(3y-5z)^2=(x+3y-5z)(x-(3y-5z))=(x+3y-5z)(x-3y+5z)

Ответ: (x+3y-5z)(x-3y+5z)

Формулы сокращенного умножения помогут также при решении уравнений.

11. Решите уравнение: (2x-1)(4x^2+2x+1)-4x(2x^2-3)=23

Решение: По формуле разности кубов, (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3.

Тогда

(2x-1)(4x^2+2x+1)=(2x-1)((2x)^2+2x+1^2)=(2x)^3-1^3=8x^3-1.

Подставив в наше уравнение, получим:

8x^3-1-4x(2x^2-3)=23

8x^3-1-8x^3+12x=23

12x=24

x=2

Ответ: 2

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Таблица квадратов натуральных чисел. Формулы сокращенного умножения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.01.2023