Таблица квадратов натуральных чисел. Формулы сокращенного умножения

Как научиться считать быстро и без калькулятора? Ведь и на ЕГЭ, и на ОГЭ по математике пользоваться калькулятором вы не можете.

Первое, что вам поможет, - это знание таблицы квадратов натуральных чисел. Учите наизусть, как таблицу умножения!

Все мы изучали в средней школе формулы сокращенного умножения. Правда, тогда мы не вполне понимали, зачем нам это надо. Все эти квадраты суммы и разности квадратов… А нужны они для того, чтобы быстро считать. И когда на ЕГЭ по математике на решение варианта у вас всего 3 часа 55 минут, а успеть надо очень много, - эти формулы просто незаменимы.

Как применять эти формулы на практике?

Например,

$73^{2}=\left ( 70+3 \right )^{2}=4900+420+9=5329$ ;

$63^{2}-62^{2}=\left ( 63-62 \right )\left ( 63+62 \right )=1\cdot 125=125$ .
И более сложная ситуация. Она может вам встретиться в задании 7 Профильного ЕГЭ по математике, если вдруг придется считать площадь криволинейной под графиком функции как разность первообразных.

$\left ( \left ( -9 \right )^{3} +30\cdot \left ( -9 \right )^{2}+302\cdot \left ( -9 \right )-\frac{15}{8}\right )-\left ( \left ( -11 \right )^{3}+30\cdot \left ( -11 \right )^{2}+302\cdot \left ( -11 \right )-\frac{15}{8} \right )=$

$=\left ( -9 \right )^{3}-\left ( -11 \right )^{3}-30\cdot \left ( \left ( -9 \right )^{2}-\left ( -11 \right )^{2} \right )+302\cdot \left ( \left ( -9 \right )-\left ( -11 \right ) \right )=$

$=\left ( 11-9 \right )\left ( 11^{2}+11\cdot 9+9^{2} \right )-30\cdot \left ( 11-9 \right )\left ( 11+9 \right )+302\cdot 2=$

$=2\cdot 301-30\cdot 40+604=1206-1200=6$

Правда, есть и более простое решение этой задачи. И в нем тоже используется одна из формул сокращенного умножения.

А вот и еще один полезный лайфхак:

Числа, оканчивающиеся на 5, в квадрат возводятся мгновенно.

Чтобы найти квадрат числа $A5$ ( $A$ – не обязательно цифра, любое натуральное число), умножаем $A$ на $A+1$ и к результату приписываем 25.)

Например, $45^{2}=2025;$
$85^{2}=7225$ .

Разберем еще несколько примеров на формулы сокращенного умножения.

1. Вычислите: $\frac{341^3-218^3}{341^2+341\cdot218+218^2}$

Решение:
Применим формулу разности кубов для выражения в числителе.

$\frac{341^3-218^3}{341^2+341\cdot218+218^2}=\frac{(341-218)(341^2+341\cdot218+218^2)}{341^2+341\cdot218+218^2}=341-218=123.$

Ответ: 123.

2. Вычислите $3\cdot\frac{38^2-2\cdot38+18^2}{38^22-22^2}$

Решение:
Конечно, мы не будем отдельно вычислять значения выражений в числителе и знаменателе дроби.
Применим формулы сокращенного умножения. В числителе – квадрат разности. В знаменателе – разность квадратов.

$3\cdot\frac{38^2-2\cdot38+18^2}{38^22-22^2}=\frac{3\cdot(38-18)^2}{(38-22)(38+22)}=\frac{3\cdot20^2}{16\cdot60}=\frac{5}{4}=1,25.$

Ответ: 1,25.

Такие задания могут встретиться в первой части ЕГЭ по математике. А вычисления этого типа – в «экономической» задаче из второй части.

3. Найдите значение выражения $\frac{9a^2-6a+1}{1-3a+b-3ab},$ если a = 47, b = 999.

Решение:
Числитель дроби является полным квадратом; $9a^2-6a+1=(3a-1)^2.$

Знаменатель дроби преобразуем к виду:

$1-3a+b-3ab=(1+b)-3a(1+b)=(1+b)(1-3a).$

Получим: $\frac{9a^2-6a+1}{1-3a+b-3ab}=\frac{(3a-1)^2}{(1+b)(1-3a)}=\frac{(1-3a)^2}{(1+b)(1-3a)}=\frac{1-3a}{1+b}$

Если a = 47, b = 999, получаем: $\frac{1-141}{1+999}=-\frac{140}{1000}=-0,14.$

4. Найдите значение выражения: $\frac{y-\sqrt{y}-6}{\sqrt{y}-3}-\sqrt{y}.$

Решение:
Сделаем замену переменной: $\sqrt{y}=t.$ тогда $y=t^2.$

Запишем выражение в виде: $\frac{t^2-t-6}{t-3}-t.$

Квадратный трехчлен $t^2-t-6$ имеет корни $t=-2$ и $t=3,$ поэтому $t^2-t-6=(t+2)(t-3),$

$\frac{t^2-t-6}{t-3}-t=\frac{(t+2)(t-3)}{t-3}-t=t+2-t=2.$

Ответ: 2.

Рассмотрим задачи по теме: разложение на множители. Здесь мы тоже применяем формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы и квадрат разности, разность кубов, сумма кубов… Все это может пригодиться, например, при решении задач с параметрами, а также уравнений и неравенств на ЕГЭ по математике.

Разложите на множители:

5. $(x+y)^2-(x-y)^2$

Решение:

Применим формулу разности квадратов.

$(x+y)^2-(x-y)^2=(x+y-(x-y))=(x+y+x-y)=(x+y-x+y)\cdot2x=2y\cdot2x=4xy.$

6. $12m^5n+24m^4n+12m^3n$

Каждое из слагаемых содержит m в целой степени. Вынесем за скобки $m^3n.$ Также за скобки можно вынести 12. Получим:

$12m^3n(m^2+2m+1)=12m^3n(m+1)^2.$

Здесь мы применили формулу квадрата суммы.

7. $25a^4-4b^2-4b-1$

Решение:

Представим выражение в виде: $25a^4-(4b^2+4b+1).$

Выражение в скобках – это квадрат суммы. Получим: $(5a^2)^2-(2b+1)^2.$

Это разность квадратов. Применяем формулу:

$(5a^2)^2-(2b+1)^2=(5a^2-2b-1)(5a^2+2b+1),$ разложили на множители.

8. $ax^2-2ax-bx^2+2bx-b+a.$

Такое выражение может встретиться в задаче с параметрами. Разложим его на множители:

$ax^2-2ax-bx^2+2bx-b+a=(ax^2-bx^2)-(2ax-2bx)+(a-b)=x^2(a-b)-2x(a-b)+(a-b)=(a-b)(x^2-2x+1)=(a-b)(x-1)^2$

9. $4x^2-20xy+25y^2-2x+5y.$

Решение:
Первые три слагаемые образуют полный квадрат:

$4x^2-20xy+25y^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdot5y=(2x-5y)^2$

Следовательно,

$4x^2-20xy+25y^2-2x+5y=(2x-5y)^2-(2x-5y)=(2x-5y)(2x-5y-1).$

10. $x^2-9y^2+30yz-25z^2.$

Решение. Последние три слагаемые после вынесения знака минус образуют полный квадрат:

$9y^2-30yz+25z^2=(3y)^2-2\cdot3y\cdot5z+(5z)^2=(3y-5z)^2.$

Тогда $x^2-9y^2+30yz-25z^2=x^2-(3y-5z)^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов и получим:

Тогда $x^2-(3y-5z)^2=(x+3y-5z)(x-(3y-5z))=(x+3y-5z)(x-3y+5z)$

Ответ: $(x+3y-5z)(x-3y+5z)$

Формулы сокращенного умножения помогут также при решении уравнений.

11. Решите уравнение: $(2x-1)(4x^2+2x+1)-4x(2x^2-3)=23$

Решение: По формуле разности кубов, $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3.$

Тогда

$(2x-1)(4x^2+2x+1)=(2x-1)((2x)^2+2x+1^2)=(2x)^3-1^3=8x^3-1.$

Подставив в наше уравнение, получим:

$8x^3-1-4x(2x^2-3)=23$

$8x^3-1-8x^3+12x=23$

$12x=24$

$x=2$

Ответ: 2

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Таблица квадратов натуральных чисел. Формулы сокращенного умножения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 07.06.2023

Таблица квадратов натуральных чисел. Формулы сокращенного умножения

Это полезно