previous arrow
next arrow
Slider

Тренировочная работа 18 декабря 2019 года. Задача 19

Эта задача появилась на Тренировочной работе 18 декабря 2019 года для 11-го класса.

Необычная задача. Очевидно одно – что «перебирать» возможные варианты не имеет смысла – их будет слишком много. Как же ее решить?

Известно, что a, b, c, d, e и f - это числа 2, 3, 4, 5, 6 и 8, расставленные без повторений в некотором, возможно, ином порядке.

а) Может ли выполняться равенство: \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{13}{2}

б) Может ли выполняться равенство: a\frac{a}{b}+\ \frac{c}{d}+\ \frac{e}{f}=\frac{481}{120}?\

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма \frac{a}{b}+\ \frac{c}{d}+\ \frac{e}{f}

Решение:

а) Да, может. Пример: \frac{5}{2} + \frac{6}{3} + \frac{8}{4} = \frac{13}{2}.

б) Нет, не может. Докажем это.

Предположим, что \frac{a}{b}+\ \frac{c}{d}+\ \frac{e}{f}=\frac{481}{120}.

Мы сложили три дроби и получили дробь со знаменателем 120.

Заметим, что 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5. Значит, у одной из дробей знаменатель был равен 5, у другой – кратный трем, то есть равен 3 или 6, а у третьей равен 2^3, то есть 8.

Действительно, число 120 является наименьшим общим кратным для чисел 3, 5, 8 и для чисел 5, 6, 8, принадлежащих исходному набору чисел. Рассмотрим оба этих варианта. И запишем выражение \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f} как \frac{adf+cbf+ebd}{bdf}. Просто привели три дроби к одному знаменателю.

  1. Пусть bdf=120, то есть b = 3, d = 5, f = 8.

    Получим: \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{a}{3}+\frac{c}{5}+\frac{e}{8}=\frac{40a+24c+15e}{120}.

    Если b = 3, d = 5, f = 8, то оставшиеся три числа из набора – это 2, 4 и 6. Получим: \frac{40a+24c+15e}{120}=\ \frac{15\ \left(a+c+e\right)+9\left(c+e\right)+16e}{120}\ \le \frac{15\ \left(2+4+6\right)+9\left(4+6\right)+16\cdot6}{120},\ то есть \frac{a}{3}+\ \frac{c}{5}+\ \frac{e}{8}\leq \ \frac{180+90+96\ \ }{120}=\frac{366}{120}\textless \frac{481}{120}.

  2. Пусть b = 6, d = 5, f = 8. В этом случае \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{a}{6}+\frac{c}{5}+\frac{e}{8}=\frac{20a+24c+15e}{120}=\frac{15\left(a+b+c\right)+5\left(a+c\right)+4c}{120}. Если b = 6, d = 5, f = 8, то оставшиеся три числа из набора – это 2, 3 и 4. Тогда \frac{15\left(a+c+e\right)+5\left(a+c\right)+4c}{120}\ \le \ \frac{15\left(2+3+4\right)+5\left(3+4\right)+4\cdot4}{120}\ , то есть \frac{a}{b}+\ \frac{c}{\ d}+\ \frac{e}{f}\ \leq \frac{186}{120}\ \textless\frac{481}{120}.

Значит, мы не сможем получить \frac{481}{120}.

Заметим, что самое большое из наименьших общих кратных чисел 2, 3, 4, 5, 6 и 8 – это число 120. Значит, наибольший общий знаменатель для дроби \frac{adf+cbf+ebd}{bdf} равен 120.

в) Найдем наименьшее значение суммы \frac{a}{b}+\ \frac{c}{d}+\ \frac{e}{f}.

\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{adf+cbf+ebd}{bdf}\geq \frac{adf+cbf+ebd}{120}, так как наибольший возможный общий знаменатель для дробей со знаменателями 2, 3, 4, 5, 6 и 8 – это 120.

Наименьшее общее кратное чисел b, d, f, принадлежащих нашему набору, равно 120 в следующих случаях:

1) Если b = 3, d = 5, f = 8 и

2) Если b = 6, d = 5, f = 8.

В первом случае оставшиеся три числа из набора – это 2, 4 и 6. Получим:

Во втором случае оставшиеся три числа из набора – это 2, 3 и 4. Получим:

Значит, \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\ \geq \frac{7}{5}. Это оценка. Приведем пример, когда \frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\frac{7}{5}.
\frac{3}{6}+\ \frac{2}{5}+\ \frac{4}{8}=\frac{7}{5}.