Slider

Задача 17 Профильного ЕГЭ по математике, кредиты. Схема 1: известна информация о платежах.

Задачи ЕГЭ №17 на кредиты обычно относятся к одному из двух характерных типов, которые легко различить между собой.

1 тип. Выплаты кредита производятся равными платежами. Эта схема еще называется «аннуитет»

2 тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно. Это так называемая «схема с дифференцированными платежами»

К первому типу относятся также задачи, в которых есть информация о платежах.

Ко второму типу – задачи, в которых есть информация об изменении суммы долга.

 

В этой статье – решение задач на кредиты первого типа. Схема 1: Аннуитет. Известна информация о платежах.

1. 1 июня 2013 года Ярослав взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Ярослав переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Ярослав может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?

Если бы банк не начислял проценты, то Ярослав смог бы вернуть долг за 3 месяца. Поскольку банк начисляет проценты, количество месяцев
n\geq 4. Покажем, что за 4 месяца Ярослав выплатит кредит. Поскольку проценты начисляются на оставшуюся часть долга, максимальными они будут в первый месяц, когда сумма долга максимальна.

Проценты, начисленные за первый месяц, равны 0,01 ∙ 900 = 9 тысяч рублей.

Значит, проценты, начисленные за 4 месяца, не превышают 9∙4 = 36 тысяч рублей. За 4 месяца Ярослав сможет выплатить и «тело кредита», и проценты.

Нам повезло с условием задачи – сумма долга равна 900 тысяч рублей, а максимальная выплата 300 тысяч рублей. Что делать, если условие не настолько очевидно?

Решим эту задачу в общем виде.

Пусть S – сумма кредита;

p\% – процентная ставка банка.

Тогда после каждого начисления процентов сумма долга увеличивается в k=1+\frac{p}{100} раза.

пусть X – величина платежа

После первого начисления процентов и первого платежа сумма кредита равна Sk-X, после второго
\left (Sk-X \right )k-X.

Например, долг выплачен равными платежами за 5 платежных периодов. Тогда:

\left (\left (\left (\left (Sk-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k-X=0

Sk^{5}-X\cdot \left ( k^{4}+k^{3}+k^{2}+k+1 \right )=0

Заметим, что в скобках – сумма 5 членов геометрической прогрессии, где b_{1}=1,\;q=k.

Поскольку
S_{n}=b_{1}\cdot \frac{q^{n}-1}{q-1}, эта сумма равна \frac{k^{5}-1}{k-1}.

Получим:
Sk^{5}=X\cdot \frac{k^{5}-1}{k-1}.

В общем случае для n платежных периодов
Sk^{n}=X\cdot \frac{k^{n}-1}{k-1}

Из этой формулы находим S, X или n.

Одна из сложностей задачи ЕГЭ №17 на кредиты и вклады – большое количество вычислений. Мы стараемся упростить их, насколько возможно.

2. 31 декабря 2014 года Савелий взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под 12,5\% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5\%), затем Савелий переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Обозначим сумму кредита S, где S=7 \;378\; 000 рублей,
p=12,5\%;\;k=1+\frac{p}{100}=1+\frac{12,5}{100}=1+\frac{1}{8}=\frac{9}{8}

Обратите внимание, что коэффициент k лучше записать в виде обыкновенной дроби, а не десятичной. Иначе при возведении в степень вы получите 9 знаков после запятой.

1) Савелий выплачивает кредит тремя равными платежами X.

\left (\left ( S\cdot k-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k-X=0.

Раскрыв скобки, получим:
Sk^{3}-X\left ( k^{2}+k+1 \right )=0;

X=\frac{S\cdot k^{3}}{k^{2}+k+1}

В этом случае Савелий выплатит банку 3X рублей.

2) Савелий выплачивает кредит двумя равными платежами Y:

\left ( S\cdot k-Y \right)\cdot k-Y=0,

Sk^{2}-Y\left ( k+1 \right )=0;

Y=\frac{Sk^{2}}{k+1}

Всего Савелий выплатит 2Y рублей.

Найдем разность 3X-2Y.

Дальше – просто арифметика. Действия с дробями. Считаем аккуратно! Сначала упрощаем формулы и только после этого подставляем численные данные.

3X-2Y=\frac{3S\cdot k^{3}}{k^{2}+k+1}-\frac{2S\cdot k^{2}}{k+1}=Sk^{2}\cdot \left ( \frac{3k}{k^{2}+k+1} -\frac{2}{k+1}\right )=\vspace{3mm}

=S\cdot \frac{9^{2}}{8^{2}}\cdot \left ( \frac{3\cdot 9}{8\cdot \left ( \frac{9^{2}}{8^{2}}+\frac{9}{8} +1\right )}-\frac{2}{\frac{9}{8}+1} \right )=S\cdot \frac{81}{64}\cdot \left ( \frac{3\cdot 9\cdot 8^{2}}{8\cdot \left ( 81+72+64 \right )} -\frac{2\cdot 8}{17}\right )=S\cdot \frac{81}{8}\cdot \left ( \frac{27}{217}-\frac{2}{17} \right )=\vspace{3 mm}

=S\cdot \frac{81}{8}\cdot \left ( \frac{459-434}{217\cdot 17} \right )=S\cdot \frac{81}{8}\cdot \frac{25}{217\cdot 17}=\frac{7378\cdot 81\cdot 25}{8\cdot 217\cdot 17}=\frac{434\cdot 81\cdot 25}{8\cdot 217}=\vspace{3mm}

=\frac{217\cdot 81\cdot 25}{4\cdot 217}=\frac{81\cdot 25}{4} (тыс.рублей) = 506250 рублей.

3. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5\% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на ), затем Дмитрий переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Как упростить вычисления? Например, в этой задаче десятичные дроби удобно перевести в обыкновенные. А тысячи и миллионы записывать как степени числа 10. И не спешите перемножать числа. Возможно, удастся что-нибудь сократить.

Пусть S=4290000=429\cdot 10^{4} рублей.

p=14,5 и тогда
\frac{p}{100}=\frac{145}{1000}=\frac{29}{200};

k=1+\frac{p}{100}=\frac{229}{200}

X - сумма ежегодной выплаты.

Согласно нашей схеме,
\left (\left (S\cdot k-X \right )\cdot k-X \right )=0.

Раскроем скобки:
Sk^{2}-X\left ( k+1 \right )=0. Выразим X из уравнения.

X=\frac{S\cdot k^{2}}{k+1}=\frac{429\cdot 10^{4}\cdot 229\cdot 229\cdot 200}{200\cdot 200\cdot 429}=229\cdot 229\cdot 50=

=\left ( 230-1 \right )^{2}\cdot 50=\left ( 230^{2}-460+1 \right )\cdot 50=2622050 рублей. Обошлись без «столбиков»!

Еще одна задача о клиенте, который 31 декабря отправился в банк за кредитом. Та же схема!

4. 31 декабря 2014 года Никита взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на a\%), затем Никита переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 073 600 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 3 513 600 рублей, то за 2 года. Под какой процент Никита взял деньги в банке?

Пусть S - сумма кредита,

X=2073600 рублей – ежегодная выплата при условии, что Никита погасил кредит за 4 года,

Y=3513600 рублей – ежегодная выплата при условии, что Никита погасил кредит за 2 года.

Составим систему уравнений:

\left\{\begin{matrix}S\cdot k^{4}=X\left ( k^{3}+k^{2}+k+1 \right )\\S\cdot k^{2}=Y\left ( k+1 \right )\end{matrix}\right.

Разделим первое уравнение системы на второе. Этот прием часто применяется в таких задачах.

Получим:
k^{2}=\frac{X}{Y}\cdot \frac{\left ( k^{3}+k^{2}+k+1 \right )}{k+1}

Заметим, что k^{3}+k^{2}+k+1=\left ( k^{2}+1 \right )\left ( k+1 \right ). Отсюда:
k^{2}=\frac{X}{Y}\cdot \left ( k^{2}+1 \right );

\frac{Y}{X}=\frac{\left ( k^{2}+1 \right )}{k^{2}}

Сделаем замену k^{2}=q;

\frac{q+1}{q}=\frac{Y}{X}=\frac{35136}{20736}=\frac{11712}{6912};

1+\frac{1}{q}=1+\frac{4800}{6912}

q=\frac{6912}{4800}=\frac{2304}{1600}=1,44

k=1,2=1+\frac{r}{100}

r=20

Никита взял кредит под 20\% годовых.

В следующей задаче платежи не равные, однако известен порядок выплат: каждый следующий платеж ровно вдвое меньше предыдущего. Решаем по той же схеме.

4. Герасим взял кредит в банке на сумму 804 000 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Герасим переводит в банк очередной платеж. Известно, что Герасим погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно вдвое меньше предыдущего. Какую сумму Герасим заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.

Как всегда, введем обозначения.

S=804 (тыс. рублей); p=10\%;\;k=1+\frac{p}{100}=1,1.

Пусть X – третий платеж. Тогда второй платеж равен 2X, а первый 4X.
Аналогично предыдущим задачам,

\left ( \left ( S\cdot k-4X \right )\cdot k-2X \right )\cdot k-X=0

Sk^{3}-X\left ( 4k^{2}+2k+1 \right )=0.

X=\frac{Sk^{3}}{4k^{2}+2k+1}=\frac{804\cdot 1,331}{4\cdot 1,21+2,2+1}=

=\frac{804\cdot 1,331}{8,04}=100\cdot 1,331=133,1 тыс.руб

133100 рублей

Решая задачу, ставьте себе дополнительную цель: максимально упростить вычисления.

Ответ: 133100 рублей.

Подведем итоги. Соберем основные принципы решения задач на кредиты первого типа в небольшую таблицу.

Пусть S – сумма кредита, n – количество платежных периодов,
р – процент по кредиту, начисляемый банком. Коэффициент
k=1+\frac{p}{100} показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.
Схема погашения кредита:
\left (\left (\left (S\cdot k-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k-X \right )...\cdot k-X=0Х – очередная выплата, n – число платежных периодов.

Раскроем скобки:

S\cdot k^{n}-X\left ( k^{n-1}+k^{n-2}+...+k^{2}+k+1 \right )=0

Для выражения в скобках можем применить формулу суммы геометрической прогрессии. Получим:

S\cdot k^{n}-X\cdot \frac{k^{n}-1}{k-1}=0.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

Вы получите:

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных