Задача 15 Профильного ЕГЭ по математике, кредиты. Схема 1: известна информация о платежах.

Задачи ЕГЭ №15 на кредиты обычно относятся к одному из двух характерных типов, которые легко различить между собой.

1 тип. Выплаты кредита производятся равными платежами. Эта схема еще называется «аннуитет»

2 тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно. Это так называемая «схема с дифференцированными платежами»

К первому типу относятся также задачи, в которых есть информация о платежах.

Ко второму типу – задачи, в которых есть информация об изменении суммы долга.

В этой статье – решение задач на кредиты первого типа. Схема 1: Аннуитет. Известна информация о платежах.

1. 1 июня 2013 года Ярослав взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Ярослав переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Ярослав может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?

Если бы банк не начислял проценты, то Ярослав смог бы вернуть долг за 3 месяца. Поскольку банк начисляет проценты, количество месяцев
$n\geq 4$ . Покажем, что за 4 месяца Ярослав выплатит кредит. Поскольку проценты начисляются на оставшуюся часть долга, максимальными они будут в первый месяц, когда сумма долга максимальна.

Проценты, начисленные за первый месяц, равны 0,01 ∙ 900 = 9 тысяч рублей.

Значит, проценты, начисленные за 4 месяца, не превышают 9∙4 = 36 тысяч рублей. За 4 месяца Ярослав сможет выплатить и «тело кредита», и проценты.

Нам повезло с условием задачи – сумма долга равна 900 тысяч рублей, а максимальная выплата 300 тысяч рублей. Что делать, если условие не настолько очевидно?

Решим эту задачу в общем виде.

Пусть $S$ – сумма кредита;

$p\%$ – процентная ставка банка.

Тогда после каждого начисления процентов сумма долга увеличивается в $k=1+\frac{p}{100}$ раза.

пусть $X$ – величина платежа

После первого начисления процентов и первого платежа сумма кредита равна $Sk-X$ , после второго
$\left (Sk-X \right )k-X$ .

Например, долг выплачен равными платежами за 5 платежных периодов. Тогда:

$\left (\left (\left (\left (Sk-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k-X=0$

$Sk^{5}-X\cdot \left ( k^{4}+k^{3}+k^{2}+k+1 \right )=0$

Заметим, что в скобках – сумма 5 членов геометрической прогрессии, где $b_{1}=1,\;q=k$ .

Поскольку
$S_{n}=b_{1}\cdot \frac{q^{n}-1}{q-1}$ , эта сумма равна $\frac{k^{5}-1}{k-1}$ .

Получим:
$Sk^{5}=X\cdot \frac{k^{5}-1}{k-1}$ .

В общем случае для n платежных периодов
$Sk^{n}=X\cdot \frac{k^{n}-1}{k-1}$

Из этой формулы находим S, X или n.

Одна из сложностей задачи ЕГЭ №15 на кредиты и вклады – большое количество вычислений. Мы стараемся упростить их, насколько возможно.

2. 31 декабря 2014 года Савелий взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под $12,5\%$ годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на $12,5\%$ ), затем Савелий переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Обозначим сумму кредита S, где $S=7 \;378\; 000$ рублей,
$p=12,5\%;\;k=1+\frac{p}{100}=1+\frac{12,5}{100}=1+\frac{1}{8}=\frac{9}{8}$

Обратите внимание, что коэффициент k лучше записать в виде обыкновенной дроби, а не десятичной. Иначе при возведении в степень вы получите 9 знаков после запятой.

1) Савелий выплачивает кредит тремя равными платежами X.

$\left (\left ( S\cdot k-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k-X=0$ .

Раскрыв скобки, получим:
$Sk^{3}-X\left ( k^{2}+k+1 \right )=0$ ;

$X=\frac{S\cdot k^{3}}{k^{2}+k+1}$

В этом случае Савелий выплатит банку $3X$ рублей.

2) Савелий выплачивает кредит двумя равными платежами $Y$ :

$\left ( S\cdot k-Y \right)\cdot k-Y=0$ ,

$Sk^{2}-Y\left ( k+1 \right )=0$ ;

$Y=\frac{Sk^{2}}{k+1}$

Всего Савелий выплатит $2Y$ рублей.

Найдем разность $3X-2Y$ .

Дальше – просто арифметика. Действия с дробями. Считаем аккуратно! Сначала упрощаем формулы и только после этого подставляем численные данные.

$3X-2Y=\frac{3S\cdot k^{3}}{k^{2}+k+1}-\frac{2S\cdot k^{2}}{k+1}=Sk^{2}\cdot \left ( \frac{3k}{k^{2}+k+1} -\frac{2}{k+1}\right )=\vspace{3mm}$

$=S\cdot \frac{9^{2}}{8^{2}}\cdot \left ( \frac{3\cdot 9}{8\cdot \left ( \frac{9^{2}}{8^{2}}+\frac{9}{8} +1\right )}-\frac{2}{\frac{9}{8}+1} \right )=S\cdot \frac{81}{64}\cdot \left ( \frac{3\cdot 9\cdot 8^{2}}{8\cdot \left ( 81+72+64 \right )} -\frac{2\cdot 8}{17}\right )=S\cdot \frac{81}{8}\cdot \left ( \frac{27}{217}-\frac{2}{17} \right )=\vspace{3 mm}$

$=S\cdot \frac{81}{8}\cdot \left ( \frac{459-434}{217\cdot 17} \right )=S\cdot \frac{81}{8}\cdot \frac{25}{217\cdot 17}=\frac{7378\cdot 81\cdot 25}{8\cdot 217\cdot 17}=\frac{434\cdot 81\cdot 25}{8\cdot 217}=\vspace{3mm}$

$=\frac{217\cdot 81\cdot 25}{4\cdot 217}=\frac{81\cdot 25}{4}$ (тыс.рублей) $= 506250$ рублей.

3. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под $14,5\%$ годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на ), затем Дмитрий переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Как упростить вычисления? Например, в этой задаче десятичные дроби удобно перевести в обыкновенные. А тысячи и миллионы записывать как степени числа 10. И не спешите перемножать числа. Возможно, удастся что-нибудь сократить.

Пусть $S=4290000=429\cdot 10^{4}$ рублей.

$p=14,5$ и тогда
$\frac{p}{100}=\frac{145}{1000}=\frac{29}{200}$ ;

$k=1+\frac{p}{100}=\frac{229}{200}$

X - сумма ежегодной выплаты.

Согласно нашей схеме,
$\left (\left (S\cdot k-X \right )\cdot k-X \right )=0$ .

Раскроем скобки:
$Sk^{2}-X\left ( k+1 \right )=0$ . Выразим X из уравнения.

$X=\frac{S\cdot k^{2}}{k+1}=\frac{429\cdot 10^{4}\cdot 229\cdot 229\cdot 200}{200\cdot 200\cdot 429}=229\cdot 229\cdot 50=$

$=\left ( 230-1 \right )^{2}\cdot 50=\left ( 230^{2}-460+1 \right )\cdot 50=2622050$ рублей. Обошлись без «столбиков»!

Еще одна задача о клиенте, который 31 декабря отправился в банк за кредитом. Та же схема!

4. 31 декабря 2014 года Никита взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на $a\%$ ), затем Никита переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 073 600 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 3 513 600 рублей, то за 2 года. Под какой процент Никита взял деньги в банке?

Пусть S - сумма кредита,

$X=2073600$ рублей – ежегодная выплата при условии, что Никита погасил кредит за 4 года,

$Y=3513600$ рублей – ежегодная выплата при условии, что Никита погасил кредит за 2 года.

Составим систему уравнений:

$\left\{\begin{matrix}S\cdot k^{4}=X\left ( k^{3}+k^{2}+k+1 \right )\\S\cdot k^{2}=Y\left ( k+1 \right )\end{matrix}\right.$

Разделим первое уравнение системы на второе. Этот прием часто применяется в таких задачах.

Получим:
$k^{2}=\frac{X}{Y}\cdot \frac{\left ( k^{3}+k^{2}+k+1 \right )}{k+1}$

Заметим, что $k^{3}+k^{2}+k+1=\left ( k^{2}+1 \right )\left ( k+1 \right )$ . Отсюда:
$k^{2}=\frac{X}{Y}\cdot \left ( k^{2}+1 \right )$ ;

$\frac{Y}{X}=\frac{\left ( k^{2}+1 \right )}{k^{2}}$

Сделаем замену $k^{2}=q$ ;

$\frac{q+1}{q}=\frac{Y}{X}=\frac{35136}{20736}=\frac{11712}{6912}$ ;

$1+\frac{1}{q}=1+\frac{4800}{6912}$

$q=\frac{6912}{4800}=\frac{2304}{1600}=1,44$

$k=1,2=1+\frac{r}{100}$

$r=20$

Никита взял кредит под $20\%$ годовых.

В следующей задаче платежи не равные, однако известен порядок выплат: каждый следующий платеж ровно вдвое меньше предыдущего. Решаем по той же схеме.

4. Герасим взял кредит в банке на сумму 804 000 рублей. Схема выплата кредита такова: в конце каждого года банк увеличивает на 10 процентов оставшуюся сумму долга, а затем Герасим переводит в банк очередной платеж. Известно, что Герасим погасил кредит за три года, причем каждый его следующий платеж был ровно вдвое меньше предыдущего. Какую сумму Герасим заплатил в третий раз? Ответ дайте в рублях.

Как всегда, введем обозначения.

$S=804$ (тыс. рублей); $p=10\%;\;k=1+\frac{p}{100}=1,1$ .

Пусть $X$ – третий платеж. Тогда второй платеж равен $2X$ , а первый $4X$ .
Аналогично предыдущим задачам,

$\left ( \left ( S\cdot k-4X \right )\cdot k-2X \right )\cdot k-X=0$

$Sk^{3}-X\left ( 4k^{2}+2k+1 \right )=0$ .

$X=\frac{Sk^{3}}{4k^{2}+2k+1}=\frac{804\cdot 1,331}{4\cdot 1,21+2,2+1}=$

$=\frac{804\cdot 1,331}{8,04}=100\cdot 1,331=133,1$ тыс.руб

$133100$ рублей

Решая задачу, ставьте себе дополнительную цель: максимально упростить вычисления.

Ответ: 133100 рублей.

Подведем итоги. Соберем основные принципы решения задач на кредиты первого типа в небольшую таблицу.

Пусть S – сумма кредита, n – количество платежных периодов, р – процент по кредиту, начисляемый банком. Коэффициент $k=1+\frac{p}{100}$ показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.
Схема погашения кредита: $\left (\left (\left (S\cdot k-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k-X \right )...\cdot k-X=0$ Х – очередная выплата, n – число платежных периодов. Раскроем скобки: $S\cdot k^{n}-X\left ( k^{n-1}+k^{n-2}+...+k^{2}+k+1 \right )=0$ Для выражения в скобках можем применить формулу суммы геометрической прогрессии. Получим: $S\cdot k^{n}-X\cdot \frac{k^{n}-1}{k-1}=0$ .

Пусть S – сумма кредита, n – количество платежных периодов,
р – процент по кредиту, начисляемый банком. Коэффициент
$k=1+\frac{p}{100}$ показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.

Схема погашения кредита:
$\left (\left (\left (S\cdot k-X \right )\cdot k-X \right )\cdot k-X \right )...\cdot k-X=0$ Х – очередная выплата, n – число платежных периодов.

Раскроем скобки:

$S\cdot k^{n}-X\left ( k^{n-1}+k^{n-2}+...+k^{2}+k+1 \right )=0$

Для выражения в скобках можем применить формулу суммы геометрической прогрессии. Получим:

$S\cdot k^{n}-X\cdot \frac{k^{n}-1}{k-1}=0$ .

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задача 15 Профильного ЕГЭ по математике, кредиты. Схема 1: известна информация о платежах.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 07.06.2023

Задача 15 Профильного ЕГЭ по математике, кредиты. Схема 1: известна информация о платежах.

Это полезно