Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 5

Точка E — середина ребра $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Найдите угол между прямыми $BE$ и $B_1D.$

Прямые $BE$ и $B_1D$ - скрещивающиеся. Помните, как находится угол между скрещивающимися прямыми? Если не помните — посмотрите в нашем справочнике. Проведем $B_1K\ \parallel \ BE\ \$ в плоскости $BCC_1.$

Тогда $\vartriangle B_1 KC_1\ =\ \vartriangle BEC,\, \, KC_1\ =\ EC\ = \frac{1}{2}.$

Рассмотрим треугольник $B_1DK$ :

$B_1D\ = \sqrt{3}$ (как диагональ куба),

$B_1K=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}\$ (из треугольника $B_1KC_1$ по теореме Пифагора),

$KD=\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$ (из треугольника KCD по теореме Пифагора),

по теореме косинусов для треугольника $B_1DK$ :

$KD^2=B_1K^2+B_1D^2-2B_1K\cdot B_1D\cdot cos \varphi ,$

$\frac{13}{4}=3+\frac{5}{4}-2\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{5}}{2}cos \varphi;$

$cos \varphi =\frac{\sqrt{15}}{15};$

$\varphi =arccos\frac{\sqrt{15}}{15}.$

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 5» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 07.09.2023

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 5

Это полезно