previous arrow
next arrow
Slider

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 5

Точка E — середина ребра CC_1 куба ABCDA_1B_1C_1D_1. Найдите угол между прямыми BE и B_1D.

Прямые BE и B_1D - скрещивающиеся. Помните, как находится угол между скрещивающимися прямыми? Если не помните — посмотрите в нашем справочнике. Проведем B_1K\ \parallel \ BE\ \ в плоскости BCC_1.

Тогда \vartriangle B_1 KC_1\ =\ \vartriangle BEC,\, \, KC_1\ =\ EC\ = \frac{1}{2};;

Рассмотрим треугольник B_1DK:

B_1D\ = \sqrt{3} (как диагональ куба),

B_1K=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}\ (из треугольника B_1KC_1 по теореме Пифагора),

KD=\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2} (из треугольника KCD по теореме Пифагора),

по теореме косинусов для треугольника B_1DK:

KD^2=B_1K^2+B_1D^2-2B_1K\cdot B_1D\cdot cos \varphi ,

\frac{13}{4}=3+\frac{5}{4}-2\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{5}}{2}cos \varphi

cos \varphi =\frac{\sqrt{15}}{15};

\varphi =arccos\frac{\sqrt{15}}{15}.

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия