Начнем с задач на проценты. Если эта тема сложна для тебя - посмотри материал простейшие текстовые задачи. В частности, в нем мы сформулировали важное правило: за \(100\%\) мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.
Мы также вывели полезные формулы:
если величину \(x\) увеличить на \(p\) процентов, получим \(x\cdot \left( 1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right);\)
если величину \(x\) уменьшить на \(p\) процентов, получим \(x\cdot \left( 1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right);\)
если величину \(x\) увеличить на \(p\) процентов, а затем уменьшить на \(q\%\), получим \(x\cdot \left( 1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)\left( 1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle q}{\displaystyle 100} \right);\)
если величину \(x\) дважды увеличить на \(p\) процентов, получим \(x\cdot \left( 1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)^2;\)
если величину \(x\) дважды уменьшить на \(p\) процентов, получим \(x\cdot \left( 1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)^2.\)
Воспользуемся ими для решения задач.
1. В \(2008\) году в городском квартале проживало \(40000\) человек. В \(2009\) году в результате строительства новых домов число жителей выросло на \(8\%\), а в \(2010\) году — на \(9\%\) по сравнению с \(2009\) годом. Сколько человек стало проживать в квартале в \(2010\) году?
По условию, в \(2009\) году число жителей выросло на \(8\%\), то есть стало равно \(40000 \cdot 1,08=43200\) человек.
А в \(2010\) году число жителей выросло на \(9\%\), теперь уже по сравнению с \(2009\) годом. Получаем, что в \(2010\) году в квартале стало проживать \(40000 \cdot 1,08 \cdot 1,09 = 47088\) жителей.
Следующая задача предлагалась на пробном ЕГЭ по математике в декабре \(2010\) года. Она проста, но справились с ней немногие.
2. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на \(4\%\) дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
На первый взгляд кажется, что в условии ошибка и цена акций вообще не должна измениться. Ведь они подорожали и подешевели на одно и то же число процентов! Но не будем спешить. Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили \(x\) рублей. К вечеру понедельника они подорожали на \(p\%\) и стали стоить \(x\cdot \left(1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) \). Теперь уже эта величина принимается за \(100\%\), и к вечеру вторника акции подешевели на \(p\%\) по сравнению этой величиной. Соберем данные в таблицу:
| в понедельник утром | в понедельник вечером | во вторник вечером | |
| Стоимость акций | \(x\) | \(x\cdot \left(1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) \) | \(x\cdot \left(1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) \left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)\) |
По условию, акции в итоге подешевели на \(4\%.\)
Получаем, что
\(x\cdot \left(1+ \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) \left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right)=x\cdot \left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 100} \right).\)
Поделим обе части уравнения на \(x\) (ведь он не равен нулю) и применим в левой части формулу сокращенного умножения:
\(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p^2}{\displaystyle 100^2}=1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 100};\)
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p^2}{\displaystyle 100^2}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 4}{\displaystyle 100}.\)
По смыслу задачи, величина \(p\) положительна.
Получаем, что \(p=20\).
3. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за \(20 000\) рублей, через два года был продан за \(15 842\) рублей.
Эта задача тоже решается по одной из формул, приведенных в начале статьи. Холодильник стоил \(20 000\) рублей. Его цена два раза уменьшилась на \(p\%\), и теперь она равна:
\(20000\cdot \left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) ^2=15842;\)
\(\left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) ^2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 15842}{\displaystyle 20000};\)
\(\left(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100} \right) ^2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 7921}{\displaystyle 10000};\)
\(1- \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle p}{\displaystyle 100}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 89}{\displaystyle 100};\)
\(p=11.\)
4. Четыре рубашки дешевле куртки на \(8\%\). На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?
Пусть стоимость рубашки равна \(x\), стоимость куртки \(y\). Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет \(92\%\) от цены куртки, то есть \(4x=0,92y\).
Стоимость одной рубашки — в \(4\) раза меньше:
\(x=0,23y.\)
А стоимость пяти рубашек:
\(5x=1,15y=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 115}{\displaystyle 100}y=115\%y.\)
Получили, что пять рубашек на \(15\%\) дороже куртки.
Ответ: \(15\).
5. Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на \(67\%\). Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на \(4\%.\) Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Нарисуем таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась...») назовем «ситуация \(A\)» и «ситуация \(B\)».
| муж | жена | дочь | Общий доход | |
| В реальности | \(x\) | \(y\) | \(z\) | \(x+y+z\) |
| Ситуация \(A\) | \(2x\) | \(y\) | \(z\) | \(1,67 \left( x+y+z \right)\) |
| Ситуация \(B\) | \(x\) | \(y\) | \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}z\) | \(0,96 \left( x+y+z \right)\) |
Осталось записать систему уравнений:
\(\left\{\begin{matrix}2x+y+z=1,67\left( x+y+z \right),
\\ x+y+\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}z=0,96\left( x+y+z \right).
\end{matrix}\right.\)
Но что же мы видим? Два уравнения и три неизвестных! Мы не сможем найти \(x\), \(y\) и \(z\) по отдельности. Правда, нам это и не нужно. Лучше возьмем первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму \(x+y+z\).
Получим: \(x=0,67\left( x+y+z \right).\)
Это значит, что зарплата мужа составляет \(67\%\) от общего дохода семьи.
Во втором уравнении мы тоже вычтем из обеих частей выражение \(x+y+z\), упростим и получим, что
\(z=0,06\left( x+y+z \right).\)
Значит, стипендия дочки составляет \(6\%\) от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет \(27\%\) общего дохода.
Ответ: \(27.\)
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
