Параллелограмм и его свойства. Площадь параллелограмма. Биссектрисы углов параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон.
Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
2. Противоположные углы параллелограмма равны.
3. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Давайте посмотрим, как свойства параллелограмма применяются в решении задач ЕГЭ.

1. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Пусть \(B \mkern -3mu M\) и \(C \mkern -3mu K\) — биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к стороне \(B \mkern -1mu C\). Сумма углов \(ABC\) и \(B \mkern -1mu C \mkern -2mu D\) равна \(180^{\circ}\). Углы \(O \mkern -3mu BC\) и \(OC \mkern -3mu B\) — половинки углов \(ABC\) и \(B \mkern -1mu C \mkern -2mu D\). Значит, сумма углов \(ABC\) и \(B \mkern -1mu C \mkern -2mu D\) равна \(90\)градусов. Из треугольника \(BO \mkern -1mu C\) находим, что угол \(BO \mkern -1mu C\) — прямой.
Ответ: \(90\).

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, — перпендикулярны.

Легко доказывается и другое свойство биссектрис параллелограмма:

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма — параллельны.

2. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна \(5\). Найдите его большую сторону.

Найдем на этом рисунке накрест лежащие углы. Мы уже рассказывали, что это такое.

Углы \(D \mkern -2mu AE\) и \(B \mkern -2mu E \mkern -2mu A\), а также \(C \mkern -3mu E \mkern -2mu D\) и \(A \mkern -2mu D \mkern -2mu E\) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. Значит, угол \(D \mkern -2mu AE\) равен углу \(B \mkern -2mu E \mkern -2mu A\), а угол \(C \mkern -3mu E \mkern -2mu D\) — углу \(A \mkern -2mu D \mkern -2mu E\).
Получаем, что треугольники \(A \mkern -2mu B \mkern -2mu E\) и \(C \mkern -2mu D \mkern -2mu E\) — равнобедренные, то есть \(B \mkern -2mu E=AB\), а \(EC=C \mkern -3mu D\).
Тогда \(BC = 5+5=10\).

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Запишем формулы площади параллелограмма:

\(S=a \cdot h\), где \(a\) — основание параллелограмма, \(h\) — его высота.
\(S=a \cdot b \cdot \sin \varphi\), где \(a\) и \(b\) — стороны параллелограмма, \(\varphi\) — угол между ними.