Задание 4. Теория вероятностей на ЕГЭ по математике.

Мы начнем с простых задач и основных понятий теории вероятностей.
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…

Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.

Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?

Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.

Орел и решка — два возможных исхода испытания.

Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна \(1/2\).

Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.

Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.

Вероятность выпадения тройки равна \(1/6\) (один благоприятный исход из шести возможных).

Вероятность четверки — тоже \(1/6\).

А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.

Вот другой пример. В пакете \(25\) яблок, из них \(8\) — красные, остальные — зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна \(8/25\), а зеленое — \(17/25\).

Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна \(8/25+17/25=1\).
 

БЕСПЛАТНЫЙ МИНИ-КУРС ПО ТЕОРВЕРУ

Определение вероятности. Простые задачи из вариантов ЕГЭ.

Разберем задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭ.

\(1.\) В фирме такси в данный момент свободно \(15\) машин: \(2\) красных, \(9\) желтых и \(4\) зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.

Всего имеется \(15\) машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна \(9/15\), то есть \(0,6\).

\(2.\) В сборнике билетов по биологии всего \(25\) билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна \(23/25\), то есть \(0,92\).

\(3.\) Родительский комитет закупил \(30\) пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них \(12\) с картинами известных художников и \(18\) с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.

Задача решается аналогично.

Ответ: \(0,6\).

\(4.\) В чемпионате по гимнастике участвуют \(20\) спортсменок: \(8\) — из России, \(7\) — из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.

Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен \(5/20\) (поскольку из Китая — \(5\) спортсменок). Ответ: \(0,25\).

\(5.\) Ученика попросили назвать число от \(1\) до \(100\). Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?

\(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 \dotsc 100.\)

Каждое пятое число из данного множества делится на \(5\). Значит, вероятность равна \(1/5\).

\(6.\) Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.

\(1, 3, 5\) — нечетные числа; \(2,4,6\) — четные. Вероятность нечетного числа очков равна \(1/2\).

Ответ: \(0,5\).

\(7.\) Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?

Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. На решение это не повлияет.

Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?

Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка.

Две монеты — уже четыре исхода:

Три монеты? Правильно, \(8.\) исходов, так как \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3=8\).

Вот они:

Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.

Ответ: \(3/8\).

\(8.\) В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет \(8\) очков. Результат округлите до сотых.

Бросаем первую кость — шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть — когда мы бросаем вторую кость.

Получаем, что у данного действия — бросания двух игральных костей — всего \(36\) возможных исходов, так как \(6^2=36\).

А теперь — благоприятные исходы:

\(2\) \(6\)

\(3\) \(5\)

\(4\) \(4\)

\(5\) \(3\)

\(6\) \(2\)

Вероятность выпадения восьми очков равна \(5/36 \approx 0,14\).

\(9.\) Стрелок попадает в цель с вероятностью \(0,9\). Найдите вероятность того, что он попадёт в цель четыре выстрела подряд.

Если вероятность попадания равна \(0,9\) — следовательно, вероятность промаха \(0,1\). Рассуждаем так же, как и в предыдущей задаче. Вероятность двух попадания подряд равна \(0,9 \cdot 0,9=0,81\). А вероятность четырех попаданий подряд равна \(0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,9 = 0,6561\).

Лень разбираться самому?
Присоединяйся к мини-курсу по теории вероятностей

ПОДРОБНЕЕ

Вероятность: логика перебора.

\(10.\) В кармане у Пети было \(2\) монеты по \(5\) рублей и \(4\) монеты по \(10\) рублей. Петя не глядя переложил какие-то \(3\) монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Мы знаем, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Но как посчитать все эти исходы?

Можно, конечно, обозначить пятирублевые монеты цифрами \(1\), а десятирублевые цифрами \(2\) — а затем посчитать, сколькими способами можно выбрать три элемента из набора \(1 1 2 2 2 2\).

Однако есть более простое решение:

Кодируем монеты числами: \(1\), \(2\) (это пятирублёвые), \(3, 4, 5, 6\) (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так:

Есть шесть фишек с номерами от \(1\) до \(6\). Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами \(1\) и \(2\) не оказались вместе?

Давайте запишем, что у нас в первом кармане.

Для этого составим все возможные комбинации из набора \(1 2 3 4 5 6\). Набор из трёх фишек будет трёхзначным числом. Очевидно, что в наших условиях \(1 2 3\) и \(2 3 1\) — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:

\(123, 124, 125, 126\)...

А дальше? Мы же говорили, что располагаем числа по возрастанию. Значит, следующее — \(134\), а затем:

\(135, 136, 145, 146, 156\).

Все! Мы перебрали все возможные комбинации, начинающиеся на \(1\). Продолжаем:

\(234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456\).

Всего \(20\) возможных исходов.

У нас есть условие — фишки с номерами \(1\) и \(2\) не должны оказаться вместе. Это значит, например, что комбинация \(356\) нам не подходит — она означает, что фишки \(1\) и \(2\) обе оказались не в первом, а во втором кармане. Благоприятные для нас исходы — такие, где есть либо только \(1\), либо только \(2\). Вот они:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – всего \(12\) благоприятных исходов.

Тогда искомая вероятность равна \(12/20\).

Ответ: \(0,6\).

Сумма событий, произведение событий и их комбинации

\(11.\) Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Проработав год, чайник может либо сломаться на второй год, либо благополучно служить и после 2 лет работы.
Пусть \(p\) – вероятность того, что чайник прослужил больше года.

\(p_1 \) – вероятность того, что он сломается на второй год, \(p_2 \) – вероятность того, что он прослужит больше двух лет.

Очевидно, \(p= p_1+p_2. \)

Тогда \(p_1=p-p_2=0,93-0,87=0,06. \)

Ответ: 0,06.

События, взаимоисключающие друг друга в рамках данной задачи, называются несовместными. Появление одного из несовместных событий исключает появление других.

Сумма двух событий – термин, означающий, что произошло или первое событие, или второе, или оба сразу.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

В нашей задаче события «чайник сломался на второй год работы» и «чайник работает больше двух лет» - несовместные. Чайник или сломался, или остается в рабочем состоянии.

\(12.\) На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук выйдет через выход А.

Пронумеруем развилки, на которых паук может случайным образом свернуть в ту или другую сторону.

Он может либо выйти в выход D, и вероятность этого события равна \(\frac{1}{2}. \) Либо уйти дальше в лабиринт. На второй развилке он может либо свернуть в тупик, либо выйти в выход В (с вероятностью \(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}). \) На каждой развилке вероятность свернуть в ту или другую сторону равна \(\frac{1}{2}, \) а поскольку развилок пять, вероятность выбраться через выход А равна \(\frac{1}{32}, \) то есть 0,03125.

События А и В называют независимыми, если вероятность появления события А не меняет вероятности появления события В.

В нашей задаче так и есть: неразумный паук сворачивает налево или направо случайным образом, независимо от того, что он делал до этого.

Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей.

\(13.\) (А) Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй - два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 - для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?

Вероятность для первого грузовика благополучно одолеть горку \(1 - 0,2 = 0,8. \) Для второго \(1 - 0,25 = 0,75. \) Поскольку первый грузовик должен сделать 3 рейса, а второй – два, грузовики ни разу не застрянут на горке с вероятностью \( 0,8\cdot0,75\cdot0,8\cdot0,75\cdot 0,8 =0,36\cdot0,8=0,288. \)

\(14.\) Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Нарисуем все возможные исходы ситуации. Покупатель пришел в магазин, который принадлежит агрофирме, и купил яйцо. Надо найти вероятность того, что это яйцо из первого хозяйства.

Яйца могут быть только или из первого домашнего хозяйства, или из второго, причем эти два события несовместны. Других яиц в этот магазин не поступает.

Пусть вероятность того, что купленное яйцо из первого хозяйства, равна \(x\). Тогда вероятность того, что яйцо из второго хозяйства (противоположного события), равна \(1-x\).

Яйца могут быть высшей категории и не высшей.
В первом хозяйстве 40% яиц имеют высшую категорию, а 60% - не высшую. Это значит, что случайно выбранное яйцо из первого хозяйства с вероятностью 40% будет высшей категории.

Во втором хозяйстве 20% яиц высшей категории, а 80% - не высшей.

Пусть случайно выбранное в магазине яйцо - из первого хозяйства и высшей категории. Вероятность этого события равна произведению вероятностей: \(0,4 x. \)

Вероятность того, что яйцо из второго хозяйства и высшей категории, равна \(0,2 (1-x). \)

Если мы сложим эти две вероятности, мы получим вероятность того, что яйцо имеет высшую категорию. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, значит, эта вероятность равна 0,35.

Мы получили уравнение:

\(0,4 x + 0,2 (1-x) = 0,35.\)

Решаем это уравнение и находим, что \(x = 0,75\) – вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, оказалось из первого хозяйства.

\(15.\) Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

С чем пришел пациент в клинику? – С подозрением на гепатит. Возможно, он действительно болен гепатитом, а возможно, у его плохого самочувствия другая причина. Может быть, он просто съел что-нибудь. Вероятность того, что он болен гепатитом, равна 0,05 (то есть 5%). Вероятность того, что он здоров, равна 0,95 (то есть 95%).

Пациенту делают анализ. Покажем на схеме все возможные исходы:

Если он болен гепатитом, анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. То есть анализ покажет: «есть гепатит».
Заметим, что анализ не во всех случаях выявляет гепатит у того, кто действительно им болен. С вероятностью 0,1 анализ не распознает гепатит у больного.

Более того. Анализ может ошибочно дать положительный результат у того, кто не болеет гепатитом. Вероятность такого ложного положительного результата 0,01. Тогда с вероятностью 0,99 анализ даст отрицательный результат, если человек здоров.

Найдем вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Благоприятные для этой ситуации исходы: человек болен, и анализ положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна \(0,05\cdot0,9 \)), или человек здоров, и анализ ложный положительный (вероятность одновременного наступления этих двух событий равна \(0,95\cdot0,01 \)). Так как события «человек болен» и «человек не болен» несовместны, то вероятность того, что результат анализа будет положительным, равна \(0,05\cdot0,9+0,95\cdot0,01=0,0545. \)

Ответ: 0,0545.

\(16.\) Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент З. должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии З. учиться и лингвистике, и коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.
Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознание или иностранный.
Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.
Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна \(0,6 \cdot 0,8.\)

Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный не ниже чем на 70 баллов равна
\(1 - 0,5 \cdot 0,3.\)
В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна \(0,6 \cdot 0,8 \cdot (1 - 0,5 \cdot 0,3) = 0,408.\) Это ответ.

Чтобы полностью освоить тему, смотрите видеокурс по теории вероятностей. Это бесплатно.

Еще задачи ЕГЭ по теме "Теория вероятностей".

Смотрите также: парадокс Монти Холла.