Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Учебные материалы и курсы для подготовки к ЕГЭ по математике и другим предметам

+7 (495) 984-09-27
+7 (800) 775-06-82
Ваш регион: Москва

Сменить регион:

Москва

Ижевск

Тест ЕГЭ по математике

Окружность. Центральный и вписанный угол

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

На рисунке — центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.

Центральный и вписанный угол
Итак, величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается.
Значит, центральный угол величиной в градусов будет опираться на дугу, равную , то есть круга. Центральный угол, равный , опирается на дугу в градусов, то есть на шестую часть круга.

Величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Также для решения задач нам понадобится понятие «хорда».

Хорда и диаметр
Равные центральные углы опираются на равные хорды.

1. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Ответ: .

2. Центральный угол на больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Пусть центральный угол равен , а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен .

Рисунок к задаче 1

Мы знаем, что .
Отсюда ,
.

Ответ: .

3. Радиус окружности равен . Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 2

Пусть хорда равна . Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим .
В треугольнике стороны и равны , сторона равна . Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник — прямоугольный и равнобедренный, то есть угол равен .
Тогда дуга равна , а дуга равна .
Вписанный угол опирается на дугу и равен половине угловой величины этой дуги, то есть .

Ответ: .

4. Хорда делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как . Под каким углом видна эта хорда из точки , принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 3

Главное в этой задаче — правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки
Представьте, что вы сидите в точке и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде . Так, как будто хорда — это экран в кинотеатре :-)
Очевидно, что найти нужно угол .
Сумма двух дуг, на которые хорда делит окружность, равна , то есть

Отсюда , и тогда вписанный угол опирается на дугу, равную .
Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол равен .

Ответ: .

Получи полный курс геометрии + набор шпаргалок бесплатно!


Звоните нам: (495) 984 09 27, Образовательная компания ЕГЭ-Студия.

+7 (800) 775 06 82 (бесплатный звонок по России)

Или нажмите на кнопку «Записаться на бесплатное собеседование», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно вам перезвоним.

Записаться на бесплатное собеседование
Записаться на бесплатное собеседование Не упусти шанс Сказать спасибо
ege-tv
позвоните нам