Ваш регион: Москва
ЕГЭ-пробный

Переменный ток. 2

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: переменный ток, вынужденные электромагнитные колебания, колебательный контур, резонанс.

Давайте начнём с одного математического приёма, чтобы не отвлекаться потом на его объяснение. Это — тригонометрический метод введения вспомогательного угла. Он наверняка вам известен, но всё же повторить его не помешает.

Речь идёт о преобразовании выражения a \sin \varphi  + b \cos \varphi . Вынесем за скобки «амплитудный множитель» \sqrt{a^2 + b^2}:

a \sin \varphi  + b \cos \varphi = \sqrt{a^2 + b^2} \left ( \frac{\displaystyle a}{\displaystyle \sqrt{a^2 + b^2} \vphantom{1^a}} \sin \varphi + \frac{\displaystyle b}{\displaystyle \sqrt{a^2 + b^2} \vphantom{1^a}} \cos \varphi \right ).

Зачем нужно такое вынесение за скобки? Оказывается, в скобках при синусе и косинусе образовались замечательные множители! Сумма квадратов этих множителей равна единице:

\left ( \frac{\displaystyle a}{\displaystyle \sqrt{a^2 + b^2} \vphantom{1^a}} \right )^2 +  \left ( \frac{\displaystyle b}{\displaystyle \sqrt{a^2 + b^2} \vphantom{1^a}} \right )^2=1.

Значит, эти множители являются соответственно косинусом и синусом некоторого угла \alpha:

\frac{\displaystyle a}{\displaystyle \sqrt{a^2 + b^2} \vphantom{1^a}} =\cos \alpha, \ \ \frac{\displaystyle b}{\displaystyle \sqrt{a^2 + b^2} \vphantom{1^a}} = \sin \alpha. (1)

В результате получаем:

a \sin \varphi  + b \cos \varphi = \sqrt{a^2 + b^2}\left ( \cos \alpha \sin \varphi + \sin \alpha \cos \varphi \right ).

Остаётся заметить, что в скобках стоит синус суммы, так что мы приходим к окончательному выражению:

a \sin \varphi  + b \cos \varphi = \sqrt{a^2 + b^2} \sin \left ( \varphi + \alpha \right ). (2)

При этом для «начальной фазы» \alpha имеем из (1) простую формулу:

tg \  \alpha = \frac{\displaystyle b}{\displaystyle a \vphantom{1^a}}. (3)

Теперь мы готовы рассмотреть вынужденные колебания, происходящие в колебательном контуре с активным сопротивлением. К источнику переменного напряжения U последовательно подключены: резистор сопротивлением R, катушка индуктивности L и конденсатор ёмкости C (рис. 1).

Рис. 1. Колебательный контур с резистором

Так как элементы соединены последовательно, сила тока в них одинакова в любой момент времени (вспомните условие квазистационарности!). Поэтому нам будет удобно начать не с напряжения источника, как раньше, а с силы тока, и считать, что ток в цепи колеблется по закону синуса: I = I_0 \sin \omega t.

А теперь вспоминаем материал предыдущего листка.

1. Пусть U_R — мгновенное значение напряжения на резисторе. Оно связано с силой тока обычным законом Ома:

U_R= IR = I_0 R \sin \omega t. (4)

2. Напряжение на конденсаторе U_C отстаёт по фазе от тока на \pi/2; это значит, что фаза напряжения U_C равна \omega t - \pi/2. Амплитуда напряжения U_C равна:

U_{Co} = I_0 X_C = \frac{\displaystyle I_0}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}}.

Таким образом,

U_C = U_{Co} \sin \left ( \omega t - \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} \right )= -\frac{\displaystyle I_0}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \cos \omega t. (5)

3. Напряжение на катушке U_L, наоборот, опережает по фазе силу тока на \pi/2. Амплитуда:

U_{Lo} = I_0 X_L = I_0 \omega L.

В результате получаем:

U_L = U_{Lo} \sin \left ( \omega t + \frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2 \vphantom{1^a}} \right )= I_0 \omega L \cos \omega t. (6)

Напряжение источника равно сумме напряжений на резисторе, катушке и конденсаторе:

U = U_R + U_L + U_C.

Подставляя сюда выражения (4)(6), получим:

U = I_0 R \sin \omega t + I_0 \omega L \cos \omega t - \frac{\displaystyle I_0}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \cos \omega t = I_0\left ( R \sin \omega t + \left ( \omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \right ) \cos \omega t \right ). (7)

Вот теперь нам и понадобится метод вспомогательного угла. Выражение во внешних скобках имеет для этого подходящий вид: a \sin \omega t+b \cos \omega t. Пользуясь выражениями (2) и (3), получим:

U = I_0\sqrt{R^2 + \left ( \omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \right )^2} \sin\left ( \omega t + \alpha \right ), (8)

где

tg \ \alpha = \frac{\displaystyle \omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}}}{\displaystyle R \vphantom{1^a}}. (9)

Угол \alpha является сдвигом фаз между напряжением источника и силой тока в цепи: фаза напряжения больше фазы тока на величину \alpha. Амплитуда напряжения:

U_0 = I_0\sqrt{R^2 + \left ( \omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \right )^2}. (10)

Получив все эти результаты, мы их несколько переиначим и приведём в соответствие с тем, что было в предыдущем листке.

Начнём с напряжения источника. Предположим, как и ранее, что оно меняется по закону синуса:

U = U_0 \sin \omega t.

Как мы сейчас выяснили, фаза тока меньше фазы напряжения на величину \alpha:

I = I_0 \sin(\omega t - \alpha).

При этом амплитуда силы тока находится из формулы (10):

I_0 = \frac{\displaystyle U_0}{\displaystyle  \sqrt{R^2 + \left ( \omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \right )^2}\vphantom{1^a}}. (11)

Выражение (11) имеет вид закона Ома:

I_0 = \frac{\displaystyle U_0}{\displaystyle X \vphantom{1^a}},

где

X = \sqrt{R^2 + \left ( \omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} \right )^2}. (12)

Величина X — это полное сопротивление цепи. Такое сопротивление оказывает наш колебательный контур переменному току.

Закон Ома в данном случае выполнен лишь для амплитудных значений тока и напряжения. Мгновенные значения I(t) и U(t) уже не будут пропорциональны друг другу — ведь между ними имеется сдвиг фаз, равный \alpha.

Резонанс в колебательном контуре

Как видно из выражения (11), амплитуда силы тока в контуре зависит от частоты колебаний. Построим график этой зависимости — так называемую резонансную кривую (рис. 2).

Рис. 2. Резонансная кривая

При \omega \rightarrow 0 имеем I_0 \rightarrow 0. Математическая причина стремления тока к нулю — неограниченное возрастание ёмкостного сопротивления 1/(\omega C), в результате чего полное сопротивление X также стремится к бесконечности.

Физическая причина очевидна: ток малой частоты — это почти постоянный ток, а для постоянного тока конденсатор является разрывом цепи.

При \omega \rightarrow \infty опять-таки имеем I_0 \rightarrow 0: график асимптотически приближается к оси \omega.

Теперь это происходит за счёт неограниченного роста индуктивного сопротивления \omega L. Физическая причина также ясна: при быстром изменении тока в катушке возникает большая ЭДС самоиндукции, препятствующая его увеличению.

При некоторой частоте \omega_0 амплитуда силы тока достигает максимума: наступает резонанс. Из (11) нетрудно видеть, что величина I_0 принимает максимальное значение

I_{0max} = \frac{\displaystyle U_0}{\displaystyle R \vphantom{1^a}}, (13)

и происходит это при выполнении равенства

\omega L - \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega C \vphantom{1^a}} = 0.

Отсюда находим \omega_0:

\omega_0 = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{LC} \vphantom{1^a}}.

Это хорошо знакомая нам частота собственных колебаний в контуре с нулевым активным сопротивлением. Она же, как видим, является резонансной частотой нашего контура.

Из (13) мы видим, что резонансное значение амплитуды тока I_{max} тем больше, чем меньше активное сопротивление R. На рис. 3 представлены три резонансные кривые. Верхняя кривая отвечает достаточно малому сопротивлению R, средняя кривая — большему сопротивлению, нижняя кривая — ещё большему сопротивлению.

Рис. 3. Резонансные кривые при различных R

Таким образом, резонансный пик тем острее, чем меньше активное сопротивление контура. При весьма большом активном сопротивлении (как это видно из нижней резонансной кривой) понятие резонанса фактически утрачивает смысл.

При резонансе в контуре происходят любопытные вещи.

1. Амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке равны друг другу. Действительно:

U_{C0} = I_0 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \omega_0 C \vphantom{1^a}} = \frac{\displaystyle U_0}{\displaystyle R \vphantom{1^a}} \sqrt{\frac{\displaystyle L}{\displaystyle C \vphantom{1^a}}}; \ \ U_{L0} = I_0 \omega_0 L = \frac{\displaystyle U_0}{\displaystyle R \vphantom{1^a}} \sqrt{\frac{\displaystyle L}{\displaystyle C \vphantom{1^a}}}.

При малых значениях R эти амплитуды могут значительно превосходить амплитуду U_0 напряжения источника! Это, кстати, является наглядной демонстрацией одного важного факта:

Хотя сумма мгновенных значений напряжения на элементах контура равна мгновенному значению напряжению источника, сумма амплитуд напряжений на отдельных элементах может и не быть равной амплитуде напряжения источника.

2. Равен нулю сдвиг фаз между током в контуре и напряжением источника: \alpha = 0. Математически мы это видим из соотношения (9): при \omega = \omega_0 получается tg \alpha = 0.

Физическую причину синфазности тока и напряжения понять также не сложно. Дело в том, что напряжения U_C и U_L на конденсаторе и катушке колеблются в противофазе (т. е. разность фаз между ними равна \pi), а их амплитуды при резонансе равны. Стало быть, они отличаются только знаком: U_L = -U_C, и в сумме дают нуль. Получается, что U = U_R + U_L + U_C = U_R (словно бы в цепи имелся один только резистор), а колебания напряжения и тока на резисторе происходят синфазно.

Резонанс играет важнейшую роль в радиосвязи. Когда осуществляется приём радиосигнала, радиоволны различных частот возбуждают в контуре колебания. Но амплитуды колебаний будут малы для сигналов тех радиостанций, частоты которых отличаются от собственной частоты контура. Контур выделяет лишь ту радиоволну, частота которой равна его собственной частоте; именно эти колебания будут иметь значительную амплитуду.

Поэтому, когда мы настраиваем приёмник на какую-то радиостанцию, мы меняем собственную частоту контура (как правило, путём изменения ёмкости конденсатора), пока не наступит резонанс с искомой радиоволной.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить