Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев
Начнём с обсуждения работы газа.
Газ, находящийся в сосуде под поршнем, действует на поршень с силой \(F=pS\), где \(p\) — давление газа, \(S\) — площадь поршня. Если при этом поршень перемещается, то газ совершает работу.
При расширении газа эта работа будет положительной (сила давления газа и перемещение поршня направлены в одну сторону). При сжатии работа газа отрицательна (сила давления газа и перемещение поршня направлены в противоположные стороны).
Предположим, что газ расширяется при постоянном давлении \(p\). Тогда сила \(F\), с которой газ действует на поршень, также постоянна. Пусть поршень переместился на расстояние \(\Delta x\) (рис. 1).
Рис. 1. \(A = p \Delta V\)
Работа газа равна:
\(A = F \Delta x=pS \Delta x.\)
Но \(S \Delta x= \Delta V\) — изменение объёма газа. Поэтому для работы газа при изобарном расширении мы получаем формулу:
\(A = p \Delta V.\) (1)
Если \(V_1\) и \(V_2\) — начальный и конечный объём газа, то для работы газа имеем: \(A = p(V2-V1)\). Изобразив данный процесс на \(pV\)-диаграмме, мы видим, что работа газа равна площади прямоугольника под графиком нашего процесса (рис. 2).
Рис. 2. Работа газа как площадь
Пусть теперь газ изобарно сжимается от объёма \(V_1\) до объёма \(V_2\). С помощью аналогичных рассуждений приходим к формуле:
\(A = -p(V_1 -V_2).\)
Но \(\ -(V_1-V_2) = V_2 -V_1 = \Delta V\), и снова получается формула (1).
Работа газа опять-таки будет равна площади под графиком процесса на \(pV\)-диаграмме, но теперь со знаком минус.
Итак, формула \(A=p \Delta V\) выражает работу газа при постоянном давлении — как в процессе расширения газа, так и в процессе сжатия.
Геометрическая интерпретация работы газа (как площади под графиком процесса на \(pV\)-диаграмме) сохраняется и в общем случае неизобарного процесса.
Действительно, рассмотрим малое изменение \(dV\) объёма газа — настолько малое, что давление \(p\) будет оставаться приблизительно постоянным. Газ совершит малую работу \(dA=p \ dV\). Тогда работа \(A\) газа во всём процессе найдётся суммированием этих малых работ:
\(A=\int_{V_1}^{V_2}p \ dV.\)
Но данный интеграл как раз и является площадью криволинейной трапеции (рис. 3):
Рис. 3. Работа газа как площадь
Наряду с работой \(A\), которую совершает газ по передвижению поршня, рассматривают также работу \({A}'\), которую поршень совершает над газом.
Если газ действует на поршень с силой \(\vec{F}\), то по третьему закону Ньютона поршень действует на газ с силой \({\vec{F}}'\), равной силе \(\vec{F}\) по модулю и противоположной по направлению: \({\vec{F}}' = -\vec{F}\) (рис. 4).
Рис. 4. Внешняя сила \({\vec{F}}'\), действующая на газ
Следовательно, работа поршня \({A}'\) равна по модулю и противоположна по знаку работе газа:
\({A}' = -A.\)
Так, в процессе расширения газ совершает положительную работу \(\left ( A> 0 \right )\); при этом работа, совершаемая над газом, отрицательна \(\left ( {A}' < 0 \right )\). Наоборот, при сжатии работа газа отрицательна \(\left ( A < 0 \right )\), а работа, совершаемая поршнем над газом, положительна \(\left ( {A}' > 0 \right )\).
Будьте внимательны: если в задаче просят найти работу, совершённую над газом, то имеется в виду работа \({A}'\).
Как мы знаем, существует лишь два способа изменения внутренней энергии тела: теплопередача и совершение работы.
Опыт показывает, что эти способы независимы — в том смысле, что их результаты складываются. Если телу в процессе теплообмена передано количество теплоты \(Q\), и если в то же время над телом совершена работа \({A}'\), то изменение внутренней энергии тела будет равно:
\(\Delta U = Q + {A}'.\) (2)
Нас больше всего интересует случай, когда тело является газом. Тогда \({A}' = -A\) (где \(A\), как всегда, есть работа самого газа). Формула (2) принимает вид: \(\Delta U = Q-A\), или
\(Q = \Delta U + A.\) (3)
Соотношение (3) называется первым законом термодинамики. Смысл его прост: количество теплоты, переданное газу, идёт на изменение внутренней энергии газа и на совершение газом работы.
Напомним, что величина \(Q\) может быть и отрицательной: в таком случае тепло отводится от газа. Но первый закон термодинамики остаётся справедливым в любом случае. Он является одним из фундаментальных физических законов и находит подтверждение в многочисленных явлениях и экспериментах.
Напомним, что в изопроцессе остаётся неизменным значение некоторой величины, характеризующей состояние газа — температуры, объёма или давления. Для каждого вида изопроцессов запись первого закона термодинамики упрощается.
1. Изотермический процесс, \(T = const\).
Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры. Если температура газа не меняется, то не меняется и внутренняя энергия: \(\Delta U = 0\). Тогда формула (3) даёт:
\(Q = A.\)
Всё подведённое к газу тепло идёт на совершение газом работы.
2. Изохорный процесс, \(V = const\).
Если объём газа остаётся постоянным, то поршень не перемещается, и потому работа газа равна нулю: \(A = 0\). Тогда первый закон термодинамики даёт:
\(Q = \Delta U.\)
Всё тепло, переданное газу, идёт на изменение его внутренней энергии.
3. Изобарный процесс, \(p = const\).
Подведённое к газу тепло идёт как на изменение внутренней энергии, так и на совершение работы (для которой справедлива формула (1)). Имеем:
\(Q = \Delta U + p \Delta V.\)
Процесс называется адиабатным, если он идёт без теплообмена с окружающими телами.
Адиабатный процесс совершается газом, находящимся в теплоизолированном сосуде. Такой сосуд препятствует всем видам теплопередачи: теплопроводности, конвекции, излучению. Пример теплоизолированного сосуда — термос.
Приблизительно адиабатным будет всякий процесс, протекающий достаточно быстро: в течение процесса теплообмен просто не успевает произойти.
При адиабатном процессе \(Q=0\). Из первого закона термодинамики получаем: \(A+ \Delta U = 0\), или \(A = - \Delta U\).
В процессе адиабатного расширения газ совершает положительную работу, поэтому \(\Delta U < 0\) (работа совершается за счёт убыли внутренней энергии). Следовательно, газ охлаждается. Если заставить газ совершить достаточно большую работу, охладить его можно весьма сильно. Именно на этом основаны методы сжижения газов.
Наоборот, в процессе адиабатного сжатия будет \(A < 0\), поэтому \(\Delta U > 0\): газ нагревается. Адиабатное нагревание воздуха используется в дизельных двигателях для воспламенения топлива.
Кривая, изображающая ход адиабатного процесса, называется адиабатой. Интересно сравнить ход адиабаты и изотермы на \(pV\)-диаграмме (рис. 5).
Рис. 5. Сравнительный ход изотермы и адиабаты
В обоих процессах давление убывает с увеличением объёма, но в адиабатном процессе убывание идёт быстрее. Почему?
При изотермическом расширении давление падает потому, что уменьшается концентрация частиц газа, в результате чего удары частиц по стенкам сосуда становятся реже. Однако интенсивность этих ударов остаётся прежней: ведь температура газа не меняется — значит, не меняется и средняя кинетическая энергия его частиц.
А при адиабатном расширении, наряду с уменьшением концентрации частиц, падает также и температура газа. Удары частиц становятся не только более редкими, но и более слабыми. Вот почему адиабата убывает быстрее изотермы.
В варианте ЕГЭ-2025 две задачи по теории вероятностей — это №4 и №5. По заданию 5 в Интернете почти нет доступных материалов. Но в нашем бесплатном мини-курсе все это есть.
