Ваш регион: Москва
ЕГЭ-пробный

Релятивистская динамика

 


Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: полная энергия, связь массы и энергии, энергия покоя.

В классической динамике мы начали с законов Ньютона, потом перешли к импульсу, а после него — к энергии. Здесь мы ради простоты изложения поступим ровно наоборот: начнём с энергии, затем перейдём к импульсу и закончим релятивистским уравнением движения — модификацией второго закона Ньютона для теории относительности.

Релятивистская энергия

 


Предположим, что изолированное тело массы m покоится в данной системе отсчёта. Одно из самых впечатляющих достижений теории относительности — это знаменитая формула Эйнштейна:

E=mc^{2} (1)

Здесь E — энергия тела, c — скорость света в вакууме. Поскольку тело покоится, энергия E, вычиляемая по формуле (1), называется энергией покоя.

Формула (1) утверждает, что каждое тело само по себе обладает энергией — просто потому, что оно существует в природе. Образно говоря, природа затратила определённые усилия на то, чтобы «собрать» данное тело из мельчайших частиц вещества, и мерой этих усилий служит энергия покоя тела. Энергия эта весьма велика; так, в одном килограмме вещества заключена энергия

E=1\cdot (3\cdot 10^{8})^{2}=9\cdot 10^{16} Дж.

Интересно, какое количество топлива нужно сжечь, чтобы выделилось столько энергии? Возьмём, например, дерево. Его удельная теплота сгорания равна q=10^{7} Дж/кг, поэтому находим: m= E/q= 9\cdot 10^{9} кг. Это девять миллионов тонн!

Ещё для сравнения: такую энергию единая энергосистема России вырабатывает примерно за десять дней.

Почему столь грандиозная энергия, содержащаяся в теле, до сих пор оставалась нами незамеченной? Почему в нерелятивистских задачах, связанных с сохранением и превращением энергии, мы не учитывали энергию покоя? Скоро мы ответим на этот вопрос.

Поскольку энергия покоя тела прямо пропорциональна его массе, изменение энергии покоя на величину \Delta E приводит к изменению массы тела на

\Delta m= \frac{\Delta \displaystyle E}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}.

Так, при нагревании тела возрастает его внутренняя энергия, и, стало быть, масса тела увеличивается! В повседневной жизни мы не замечаем этого эффекта ввиду его чрезвычайной малости. Например, для нагревания воды массой m= 1 кг на \Delta t= 100^{\circ}C (удельная теплоёмкость воды равна c_{b}= 4200 J/(kg\cdot^{\circ}C)) ей нужно передать количество теплоты:

Q= c_{b}m\Delta t= 4,2\cdot 10^{5} Дж.

Увеличение массы воды будет равно:

\Delta m= \frac{Q}{c^{2}}= \frac{4,2\cdot 10^{5}}{9\cdot 10^{16}}\approx 4,7\cdot 10^{-12} кг.

Столь ничтожное изменение массы невозможно заметить на фоне погрешностей измерительных приборов.

Формула ( 1) даёт энергию покоящегося тела. Что изменится, если тело движется?

Снова рассмотрим неподвижную систему отсчёта K и систему {K}, движущуюся относительно K со скоростью \upsilon. Пусть тело массы m покоится в системе {K}; тогда энергия тела в системе {K} есть энергия покоя, вычисляемая по формуле ( 1). Оказывается, при переходе в систему K энергия преобразуется так же, как и время — а именно, энергия тела в системе K, в которой тело движется со скоростью \upsilon , равна:

E= \frac{mc^{2}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{\upsilon ^{\displaystyle 2}}{c^{\displaystyle 2}}}} ( 2)

Формула ( 2) была также установлена Эйнштейном. Величина E — это полная энергия движущегося тела. Поскольку в данной формуле mc^{2} делится на «релятивистский корень», меньший единицы, полная энергия движущегося тела превышает энергию покоя. Полная энергия будет равна энергии покоя только при \upsilon = 0.

Выражение для полной энергии ( 2) позволяет сделать важные выводы о возможных скоростях движения объектов в природе.

1. Каждое массивное тело обладает определённой энергией, поэтому необходимо выполнение неравенства

1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}> 0.

Оно означает, что \upsilon < c: скорость массивного тела всегда меньше скорости света.

2. В природе существуют безмассовые частицы (например, фотоны), несущие энергию. При подстановке m= 0 в формулу ( 2) её числитель обращается в нуль. Но энергия-то фотона ненулевая!

Единственный способ избежать здесь противоречия — это принять, что безмассовая частица обязана двигаться со скоростью света. Тогда и знаменатель нашей формулы обратится в нуль, так что формула ( 2) попросту откажет. Нахождение формул для энергии безмассовых частиц не входит в компетенцию теории относительности. Так, выражение для энергии фотона устанавливается в квантовой физике.

Интуитивно чувствуется, что полная энергия ( 2) состоит из энергии покоя и собственно «энергии движения», т. е. кинетической энергии тела. При малых скоростях движения это показывается явным образом. Используем приближённые формулы, справедливые при \alpha \ll 1:

\sqrt{1-\alpha }\approx 1-\frac{\alpha }{2} ( 3)
\frac{1}{1-\alpha }\approx 1+\alpha ( 4)

С помощью этих формул последовательно получаем из ( 2):

E= \frac{\displaystyle mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}\approx \frac{\displaystyle mc^{\displaystyle 2}}{1-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}\approx mc^{2}(1+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}})= mc^{2}+\frac{\displaystyle m\upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2} ( 5)

Таким образом, при малых скоростях движения полная энергия сводится просто к сумме энергия покоя и кинетической энергии. Это служит мотивировкой для определения понятия кинетической энергии в теории относительности:

E_{K}=\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\frac{\upsilon ^{2}}{c^{2}}}}-mc^{2}. ( 6)

При \upsilon \ll c формула ( 6) переходит в нерелятивистское выражение E_{K}= m\upsilon ^{2}/2.

Теперь мы можем ответить на заданный выше вопрос о том, почему до сих пор не учитывалась энергия покоя в нерелятивистских энергетических соотношениях. Как видно из ( 5), при малых скоростях движения энергия покоя входит в полную энергию в качестве слагаемого. В задачах, например, механики и термодинамики изменения энергии тел составляют максимум несколько миллионов джоулей; эти изменения столь незначительны по сравнению с энергиями покоя рассматриваемых тел, что приводят к микроскопическим изменениям их масс. Поэтому с высокой точностью можно считать, что суммарная масса тел не меняется в ходе механических или тепловых процессов. В результате суммы энергий покоя тел в начале и в конце процесса попросту сокращаются в обеих частях закона сохранения энергии!

Но такое бывает не всегда. В других физических ситуациях изменения энергии тел могут приводить к более заметным изменениям суммарной массы. Мы увидим, например, что в ядерных реакциях отличия масс исходных и конечных продуктов обычно составляют доли процента.Скажем, при распаде ядра урана _{92}^{235}{\cup } суммарная масса продуктов распада примерно на 0,1\% меньше массы исходного ядра. Эта одна тысячная доля массы ядра высвобождается в виде энергии, которая при взрыве атомной бомбы способна уничтожить город.

При неупругом столкновении часть кинетической энергии тел переходит в их внутренюю энергию. Релятивистский закон сохранения полной энергии учитывает этот факт: суммарная масса тел после столкновения увеличивается!

Рассмотрим в качестве примера два тела массы m, летящих навстречу друг другу с одинаковой скоростью 3c/5. В результате неупругого столкновения образуется тело массы M , скорость которого равна нулю по закону сохранения импульса (об этом законе речь впереди). Согласно закону сохранения энергии получаем:

\frac{\displaystyle mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{(\displaystyle 3c/5)^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}+\frac{\displaystyle mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{(\displaystyle 3c/5)^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}= Mc^{2},

2\cdot \frac{\displaystyle mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-(\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5})^{\displaystyle 2}}}= Mc^{2},

\frac{\displaystyle 2m}{\displaystyle 4/5}= M,

M= \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2}m.

Мы видим, что, M> 2m — масса образовавшегося тела превышает сумму масс тел до столкновения. Избыток массы, равный m/2, возник за счёт перехода кинетической энергии сталкивающихся тел во внутреннюю энергию.

Релятивистский импульс.

 

Классическое выражение для импульса \vec{p}= m\vec{\upsilon } не годится в теории относительности — оно, в частности, не согласуется с релятивистским законом сложения скоростей. Давайте убедимся в этом на следующем простом примере.

Пусть система {K} движется относительно системы K со скоростью v = c/2 (рис. 1). Два тела массы m в системе {K} летят навстречу друг другу с одинаковой скоростью {u}. Происходит неупругое столкновение.

Рис. 1. К закону сохранения импульса

 

В системе {K} тела после столкновения останавливаются. Давайте, как и выше, найдём массу M образовавшегося тела:

Mc^{2}= 2\frac{\displaystyle mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{(\displaystyle c/2)^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}= \frac{\displaystyle 2mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4})^{\displaystyle 2}}}= \frac{\displaystyle 4mc^{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 3}},

откуда

M= \frac{\displaystyle 4m}{\sqrt{\displaystyle 3}}.

Теперь посмотрим на процесс столкновения с точки зрения системы K. До столкновения левое тело имеет скорость:

u_{1}= \frac{\displaystyle \upsilon +{\displaystyle u}.

Правое тело имеет скорость:

u_{2}= \frac{\displaystyle \upsilon -{\displaystyle u}.

Нерелятивистский импульс нашей системы до столкновения равен:

mu_{1}-mu_{2}= \frac{\displaystyle 4mc}{\displaystyle 5}.

После столкновения получившееся тело массы M двигается со скоростью \upsilon = c/2.
Его нерелятивистский импульс равен:

M\upsilon = \frac{\displaystyle 4m}{\sqrt{\displaystyle 3}}\frac{\displaystyle c}{\displaystyle 2}= \frac{\displaystyle 2m}{\sqrt{\displaystyle 3}}.

Как видим, mu_{1}-mu_{2}\neq M\upsilon , то есть нерелятивистский импульс не сохраняется.

Оказывается, правильное выражение для импульса в теории относительности получается делением классического выражения на «релятивистский корень»: импульс тела массы m, двигающегося со скоростью \vec{\upsilon }, равен:

\vec{p}= \frac{\displaystyle m\vec{\displaystyle \upsilon }}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}. 7

Давайте вернёмся к только что рассмотренному примеру и убедимся, что теперь с законом сохранения импульса всё будет в порядке.

Импульс системы до столкновения:

p_{before}= \frac{\displaystyle mu_{\displaystyle 1}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle u_{\displaystyle 1}^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}- \frac{\displaystyle mu_{\displaystyle 2}}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle u_{\displaystyle 2}^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}= \frac{\displaystyle m(\displaystyle 4c/5)}{\displaystyle \sqrt{\displaystyle 1-\frac{(\displaystyle 4c/5)^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}-0= \frac{\displaystyle 4mc/5}{\displaystyle 3/5}= \frac{\displaystyle 4mc}{\displaystyle 3}.

Импульс после столкновения:

p_{after}= \frac{\displaystyle \displaystyle M\upsilon }{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}= \frac{\displaystyle Mc/2}{\sqrt{\displaystyle 1-\frac{(\displaystyle c/2)^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}=( \frac{\displaystyle 4m/\sqrt{\displaystyle 3})(\displaystyle c/2)}{\sqrt{\displaystyle 3/2}}= \frac{\displaystyle 4mc}{\displaystyle 3}

Вот теперь всё правильно: p_{before}= p_{after}!

Связь энергии и импульса.

 

Из формул ( 2) и ( 7) можно получить замечательное соотношение между энергией и импульсом в теории относительности. Возводим обе части этих формул в квадрат:

E^{2}= \frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}c^{\displaystyle 4}}{1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}, p^{2}= \frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}

Преобразуем разность:

E^{2}-p^{2}c^{2}= \frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 4}}{1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}-\frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\upsilon ^{\displaystyle 2}c^{\displaystyle 2}}{1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}= \frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}(\displaystyle c^{\displaystyle 2}-\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2})}{\frac{\displaystyle c^{\displaystyle 2}-\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}= m^{2}c^{4}

Это и есть искомое соотношение:

E^{2}-p^{2}c^{2}= m^{2}c^{4}. ( 8)

Данная формула позволяет выявить простую связь между энергией и импульсом фотона. Фотон имеет нулевую массу и движется со скоростью света. Как уже было замечено выше, сами по себе энергия и импульс фотона в СТО найдены быть не могут: при подстановке в формулы ( 2) и ( 7) значений m=0 и \upsilon = c мы получим нули в числителе и знаменателе. Но зато с помощью ( 8) легко находим: E^{2}-p^{2}c^{2}= 0, или

E= pc ( 9)

В квантовой физике устанавливается выражение для энергии фотона, после чего с помощью формулы ( 9) находится его импульс.

Релятивистское уравнение движения.

 

Рассмотрим тело массы m, движущееся вдоль оси X под действием силы F. Уравнение движения тела в классической механике — это второй закон Ньютона: ma= F. Если за бесконечно малое время dt приращение скорости тела равно d\upsilon , то a=d\upsilon /dt, и уравнение движения запишется в виде:

m\frac{\displaystyle d\upsilon }{\displaystyle dt}= F. ( 10)

Теперь заметим, что md\upsilon = d(m\upsilon )= dp — изменение нерелятивистского импульса тела. В результате получим «импульсную» форму записи второго закона Ньютона — производная импульса тела по времени равна силе, приложенной к телу:

\frac{dp}{dt}= F. ( 11)

Все эти вещи вам знакомы, но повторить никогда не помешает ;-)

Классическое уравнение движения — второй закон Ньютона — является инвариантным относительно преобразований Галилея, которые в классической механике описывают переход из одной инерциальной системы отсчёта в другую (это означает, напомним, что при указанном переходе второй закон Ньютона сохраняет свой вид). Однако в СТО переход между инерциальными системами отсчёта описывается преобразованиями Лоренца, а относительно них второй закон Ньютона уже не является инвариантным. Следовательно, классическое уравнение движения должно быть заменено релятивистским, которое сохраняет свой вид под действием преобразований Лоренца.

То, что второй закон Ньютона ( 10) не может быть верным в СТО, хорошо видно на следующем простом примере. Допустим, что к телу приложена постоянная сила. Тогда согласно классической механике тело будет двигаться с постоянным ускорением; скорость тела будет линейно возрастать и с течением времени превысит скорость света. Но мы знаем, что на самом
деле это невозможно.

Правильное уравнение движения в теории относительности оказывается совсем не сложным.
Релятивистское уравнение движения имеет вид ( 11), где p — релятивистский импульс:

\frac{\displaystyle d(\frac{\displaystyle m\upsilon }{\sqrt{\displaystyle 1-\upsilon ^{\displaystyle 2}/\displaystyle c^{\displaystyle 2}}})}{\displaystyle dt}= F. ( 12)

Производная релятивистского импульса по времени равна силе, приложенной к телу.

В теории относительности уравнение ( 12) приходит на смену второму закону Ньютона.

Давайте выясним, как же в действительности будет двигаться тело массы m под действием постоянной силы F. При условии F= const из формулы ( 12) получаем:

\frac{\displaystyle m\upsilon }{\displaystyle \sqrt{\displaystyle 1-\frac{\displaystyle \upsilon ^{\displaystyle 2}}{\displaystyle c^{\displaystyle 2}}}}= Ft.

Остаётся выразить отсюда скорость:

\upsilon = \frac{\displaystyle cFt}{\sqrt{\displaystyle F^{\displaystyle 2}t^{\displaystyle 2}+m^{\displaystyle 2}c^{\displaystyle 2}}}. ( 13)

Посмотрим, что даёт эта формула при малых и при больших временах движения.
Пользуемся приближёнными соотношениями при \alpha \ll 1:

\sqrt{\displaystyle 1+\alpha }\approx 1+\frac{\displaystyle \alpha }{\displaystyle 2}, ( 14)

\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 1+\alpha }\approx 1-\alpha . ( 15)

Формулы ( 14) и ( 15) отличаются от формул ( 3) и ( 4) только лишь знаком в левых частях. Очень рекомендую вам запомнить все эти четыре приближённых равенства — они часто используются в физике.

Итак, начинаем с малых времён движения. Преобразуем выражение ( 13) следующим образом:

\upsilon = \frac{\displaystyle cFt}{\displaystyle mc\sqrt{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle F^{\displaystyle 2}t^{\displaystyle 2}}{\displaystyle m^{\displaystyle 2}c^{\displaystyle 2}}}}.

При малых t имеем:

\frac{\displaystyle F^{\displaystyle 2}\displaystyle t^{\displaystyle 2}}{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}}\ll 1.

Последовательно пользуясь нашими приближёнными формулами, получим:

\upsilon \approx \frac{\displaystyle cFt}{\displaystyle mc(1+\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\frac{\displaystyle F^{\displaystyle 2}\displaystyle t^{\displaystyle 2}}{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}})}\approx \frac{\displaystyle Ft}{\displaystyle m}(1-\frac{F^{\displaystyle 2}t^{\displaystyle 2}}{\displaystyle 2m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}}).

Выражение в скобках почти не отличается от единицы, поэтому при малых t имеем:

\upsilon \approx \frac{Ft}{m}= at.

Здесь a= F/m — ускорение тела. Мы получили результат, хорошо известный нам из классической механики: скорость тела линейно растёт со временем. Это и не удивительно — при малых временах движения скорость тела также невелика, поэтому мы можем пренебречь релятивистскими эффектами и пользоваться обычной механикой Ньютона.

Теперь переходим к большим временам. Преобразуем формулу ( 13) по-другому:

\upsilon \approx \frac{\displaystyle cFt}{\displaystyle Ft\sqrt{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}}{\displaystyle F^{\displaystyle 2}\displaystyle t^{\displaystyle 2}}}}= \frac{\displaystyle c}{\sqrt{1+\frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}}{\displaystyle F^{\displaystyle 2}t^{\displaystyle 2}}}}.

При больших значениях t имеем:

\frac{\displaystyle m^{\displaystyle 2}\displaystyle c^{\displaystyle 2}}{\displaystyle F^{\displaystyle 2}\displaystyle t^{\displaystyle 2}}\ll 1,

и тогда:

\upsilon \approx \frac{c}{1+\frac{1}{2}\frac{m^{2}c^{2}}{F^{2}t^{2}}}\approx c(1-\frac{m^{2}c^{2}}{2F^{2}t^{2}}).

Хорошо видно, что при t \to \infty скорость тела \upsilon неуклонно приближается к скорости света c, но всегда остаётся меньше c — как того и требует теория относительности.

Зависимость скорости тела от времени, даваемая формулой ( 13), графически представлена на рис. 2.

Рис. 2. Разгон тела под действием постоянной силы

 

Начальный участок графика — почти линейный; здесь пока работает классическая механика. Впоследствии сказываются релятивистские поправки, график искривляется, и при больших временах наша кривая асимптотически приближается к прямой \upsilon =c.


Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить