Метод интервалов

Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.

1. Рассмотрим неравенство: \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x^2+2x-3}{\displaystyle \left( x-7 \right)\left( x+5 \right)} \geqslant 0.\)

Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.

В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.

Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.

Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.

Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. (Если вы не помните, что такое нули функции и знак функции на промежутке – смотрите статью «Исследование графика функции»).

Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида  \(ax^2+bx+c\).

\(ax^2+bx+c=a\left( x-x_1 \right)\left( x-x_2 \right)\), где \(x_1\) и \(x_2\) — корни квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\).

Получим:

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left( x-1 \right)\left( x+3 \right)}{\displaystyle \left( x-7 \right)\left( x+5 \right)} \geqslant 0.\)

Рисуем ось \(X\) и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль.

Нули знаменателя \(-5\) и \(7\) — выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на ноль делить нельзя).

Напомним, что мы изображаем точку на числовой прямой выколотой (пустой), если соответствующее значение переменной никак не может быть решением неравенства. В нашем примере точки \(-5\) и \(7\) выколотые, потому что в них знаменатель обращается в ноль.

Нули числителя \(-3\) и \(1\) — закрашены, так как неравенство нестрогое. При \(x=-3\) и \(x=1\) наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.

Эти точки разбивают ось \(X\) на \(5\) промежутков.

Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным — либо "плюс", либо "минус".

И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.

\(1)\) \(x<-5\). Возьмем, например, \(x=-10\) и проверим знак выражения \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left( x-1 \right)\left( x+3 \right)}{\displaystyle \left( x-7 \right)\left( x+5 \right)}\) в левой части неравенства. Каждая из "скобок" отрицательная. Левая часть имеет знак \(\left( + \right)\).

\(2)\) Следующий промежуток: \(-5< x< -3.\) Проверим знак при \(x=-4\). Получаем, что
левая часть поменяла знак на \((-)\).

\(3)\) \(-3< x< 1.\) Возьмем \(x=0\). При \(x=0\) выражение положительно — следовательно, оно положительно на всем промежутке от \(-3\) до \(1\).

\(4)\) При \(1< x< 7\) левая часть неравенства отрицательна.

\(5)\) И, наконец, \(x>7\). Подставим \(x=10\) и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак \(\left( + \right)\).

Мы нашли, на каких промежутках выражение \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left( x-1 \right)\left( x+3 \right)}{\displaystyle \left( x-7 \right)\left( x+5 \right)}\) положительно. Осталось записать ответ:

Ответ: \(\left( -\infty ;-5 \right)\cup \left[ -3 ;1 \right]\cup \left( 7 ;+ \infty \right)\).

Обратите внимание: знаки на промежутках чередуются. Это произошло потому, что при переходе через каждую точку ровно один из линейных множителей поменял знак, а остальные сохранили его неизменным.

Мы видим, что метод интервалов очень прост. Чтобы решить дробно-рациональное неравенство методом интервалов, приводим его к виду:

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left( x \right)}{\displaystyle Q\left( x \right)} \geqslant 0\), или \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left( x \right)}{\displaystyle Q\left( x \right)} > 0\), или \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left( x \right)}{\displaystyle Q\left( x \right)} \leqslant 0\), или \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left( x \right)}{\displaystyle Q\left( x \right)} < 0\)

(в левой части — дробно-рациональная функция, в правой — нуль).

Затем — отмечаем на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль.

Эти точки разбивают всю числовую прямую на промежутки, на каждом из которых дробно-рациональная функция сохраняет свой знак.

Остается только выяснить ее знак на каждом промежутке.

Мы делаем это, проверяя знак выражения \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P\left( x \right)}{\displaystyle Q\left( x \right)}\) в любой точке, принадлежащей данному промежутку. После этого — записываем ответ. Вот и всё.

Но возникает вопрос: всегда ли знаки чередуются? Нет, не всегда! Надо быть внимательным и не расставлять знаки механически и бездумно.

2. Рассмотрим еще одно неравенство: \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left( x-2 \right)^2}{\displaystyle \left( x-1 \right)\left( x-3 \right)}>0.\)

Решение:

Снова расставляем точки на оси \(X\). Точки \(1\) и \(3\) — выколотые, поскольку это нули знаменателя. Точка \(2\) — тоже выколота, поскольку неравенство строгое, и значение переменной \(x=2\) не может быть решением неравенства.

При \(x<1\) числитель положителен, оба множителя в знаменателе отрицательны. Это легко проверить, взяв любое число с данного промежутка, например, \(x=0\). Левая часть имеет знак \(\left( + \right)\):

При \(1<x<2\) числитель положителен; первый множитель в знаменателе положителен, второй множитель отрицателен. Левая часть имеет знак \(\left( - \right)\):

При \(2<x<3\) ситуация та же! Числитель положителен, первый множитель в знаменателе положителен, второй отрицателен. Левая часть имеет знак \(\left( - \right)\):

Наконец, при \(x>3\) все множители положительны, и левая часть имеет знак \(\left( + \right)\):

Ответ: \(\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 3 ;+ \infty \right)\).

Почему нарушилось чередование знаков? Потому что при переходе через точку 2 "ответственный" за неё множитель \(\left( x-2 \right)^2\) не изменил знак. Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.

Вывод: если линейный множитель \((x-c)\) стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку \(x=c\) знак выражения в левой части не меняется. В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.

3. Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left( x-2 \right)^2}{\displaystyle \left( x-1 \right)\left( x-3 \right)} \geqslant 0.\)

Решение:

Левая часть та же, что и в предыдущем примере. Та же будет и картина знаков:

Может, и ответ будет тем же? Нет! Добавляется решение \(x=2.\) Это происходит потому, что при \(x=2\) и левая, и правая части неравенства равны нулю - следовательно, эта точка является решением.

Ответ: \(\left( -\infty ;1 \right)\cup \{2\} \cup \left( 3 ;+ \infty \right)\).

В задачах ЕГЭ по математике такая ситуация встречается часто. Здесь абитуриенты попадают в ловушку и теряют баллы. Будьте внимательны!

4. Что делать, если числитель или знаменатель не удается разложить на линейные множители? Рассмотрим такое неравенство:

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \left( x+2 \right)\left( x^2-4x+7 \right)}{\displaystyle x-5}<0.\)

Решение:

Квадратный трехчлен \(x^2-4x+7\) на множители разложить нельзя: дискриминант отрицателен, корней нет. Но ведь это и хорошо! Это значит, что знак выражения \(x^2-4x+7\) при всех \(x\) одинаков, а конкретно — положителен. Подробнее об этом можно прочитать в статье о свойствах квадратичной функции.

И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину \(x^2-4x+7\), положительную при всех \(x\).

Придём к равносильному неравенству: \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x+2}{\displaystyle x-5}<0.\)

Решим неравенство методом интервалов. Действуем по алгоритму: числитель левой части равен нулю при \(x=-2,\) а знаменатель обращается в ноль при \(x=5\). Отметим эти точки на координатной прямой. Точки выколоты, потому что неравенство строгое. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала. Найдем знаки на каждом из интервалов. На крайнем правом знак положителен, а дальше знаки чередуются.

Нам нужен интервал со знаком «минус», то есть такой, где \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x+2}{\displaystyle x-5}<0.\) Выпишем ответ.

Ответ: \(x \in (-2;5).\)

Обратите внимание — мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен.

5. Рассмотрим еще одно неравенство, на вид совсем простое: \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle x}<1.\)

Решение:

Так и хочется умножить его на \(x\). Но мы уже умные, и не будем этого делать. Ведь \(x\) может быть как положительным, так и отрицательным. А мы знаем, что если обе части неравенства умножить на отрицательную величину — знак неравенства меняется.

Мы поступим по-другому — соберём всё в одной части и приведём к общему знаменателю. В правой части останется нуль:

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle x}-1<0;\)

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2-x}{\displaystyle x}<0;\)

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x-2}{\displaystyle x}>0.\)

Применим метод интервалов.

Действуем по алгоритму. Отметим на координатной прямой точки \(x=2\) и \(x=0\). Они выколотые, потому что неравенство строгое. Эти точки разбивают ось \(X\) на три интервала. Расставим знаки на каждом из них.

Ответ: \(x \in (-\infty;0)\cup (2;+\infty).\)

6. Решите неравенство: \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5}{\displaystyle x}-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3}{\displaystyle 3-x}<0.\)

Решение:

Приведем левую часть неравенства к общему знаменателю и преобразуем числитель:

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5}{\displaystyle x}-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3}{\displaystyle 3-x}<0;\)

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5}{\displaystyle x}+\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3}{\displaystyle x-3}<0;\)

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5x-15+3x}{\displaystyle x(x-3)}<0;\)

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 8x-15}{\displaystyle x(x-3)}<0.\)

Применим метод интервалов:

Числитель равен нулю при \(\displaystyle x=1\frac{7}{8}.\) Знаменатель обращается в ноль при \(x=0\) или \(x=3\). Неравенство строгое, поэтому все эти точки на числовой оси отмечаем как пустые.

Если \(x>3\), то \(\displaystyle \frac{8x-15}{x(x-3)}>0\). Далее знаки чередуются.

Нам нужны интервалы со знаком «минус». Выпишем их и получим ответ.

Ответ: \(\displaystyle x\in(-\infty;0)\cup(1\frac{7}{8};3).\)

7. Решите неравенство: \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2x-7}{\displaystyle x^2+2x-8}>1.\)

Решение:

Приведем неравенство к виду: \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle P(x)}{\displaystyle Q(x)}>0.\)

Для этого все перенесем в левую часть, приведем к общему знаменателю и разложим числитель и знаменатель на множители. Применяем формулу разности квадратов \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) и формулу разложения квадратного трехчлена на множители \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).\)

Получим:

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2x-7}{\displaystyle x^2+2x-8}-1>0;\)

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2x-7-x^2-2x+8}{\displaystyle x^2+2x-8}>0;\)

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle -x^2+1}{\displaystyle x^2+2x-8}>0;\)

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x^2-1}{\displaystyle x^2+2x-8}<0;\)

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle (x-1)(x+1)}{\displaystyle (x+4)(x-2)}<0.\)

Найдем нули числителя и знаменателя и отметим их на числовой оси:

Выпишем интервалы, где неравенство выполняется, и получим ответ.

Ответ: \(x \in (-4;-1)\cup (1;2).\)

8. Решите неравенство: \(x^3+9x^2+14x\leqslant0.\)

Решение:

Разложим левую часть неравенства на множители.

Для этого вынесем общий множитель за скобки, а затем воспользуемся формулой: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).\)

Получим: \(x^3+9x^2+14x\leqslant0 \Leftrightarrow x(x^2+9x+14)\leqslant0 \Leftrightarrow x(x+7)(x+2) \leqslant 0.\)

Применим метод интервалов.

Левая часть неравенства обращается в ноль, если \(x=-7\), \(x=-2\) или \(x=0\). Нанесем эти точки на координатную прямую. Все точки закрашенные, так как неравенство нестрогое, в нем присутствует знак «меньше или равно».

Ответ: \(x \in (-\infty;-7])\cup [-2;0].\)

9. Решите неравенство: \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x^3-3x^2-x+3}{\displaystyle x^2+3x+2}\geqslant 0.\)

Решение:

Разложим числитель на множители с помощью группировки:

\(x^3-3x^2-x+3=x^2(x-3)-(x-3)=(x-3)(x^2-1)=(x-3)(x-1)(x+1).\)

Знаменатель тоже разложим на множители:

\(x^3+3x+2=(x+1)(x+2).\)

Неравенство примет вид:

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle (x-3)(x-1)(x+1)}{\displaystyle (x+1)(x+2)}\geqslant 0.\)

Мы видим, что числитель равен нулю при \(x=3;x=1.\)

Знаменатель равен нулю при \(x=-1;x=-2\). Множитель \((x+1)\) стоит в числителе и в знаменателе, и он не может равняться нулю.

Отметим полученные точки на координатной прямой. Две из них закрашены (это \(3\) и \(1\)), а две нет (это \(-1\) и \(-2\)). Найдем знаки на каждом промежутке.

При переходе через точку \(x=-1\) знак не меняется, так как множитель \((x+1)\) присутствует и в числителе, и в знаменателе.

Выпишем ответ.

Ответ: \(x \in (-2;-1) \cup (-1;1] \cup [3;+\infty).\)

10. Решите неравенство: \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x^4-3x^3+2x^2}{\displaystyle x^2-x-30}< 0.\)

Решение:

Разложим числитель и знаменатель на множители: \(x^4-3x^2+2x^2=x^2(x^2-3x+2)=x^2(x-1)(x-2).\)

Напомним, что выражение \(x^2-3x+2\) мы разложили на множители, решив квадратное уравнение:

\(x^2-x-30=0 \Leftrightarrow \left[
\begin{gathered}
x = -5, \\
x = 6; \\
\end{gathered}
\right. \)

\(x^2-x-30=(x+5)(x-6).\)

Неравенство примет вид:

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x^2(x-1)(x-2)}{\displaystyle (x+5)(x-6)}< 0.\)

Воспользуемся методом интервалов.

Числитель дроби в левой части неравенства равен нулю, если \(x=0; x=1; x=2.\) Знаменатель обращается в ноль, если \(x=-5\) или \(x=6\). Отметим эти точки на координатной прямой и определим знаки на интервалах.

Ответ: \(x \in (-5;0) \cup (0;1) \cup (2;6).\)

11. Решите неравенство: \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle (x-1)(x+2)^2}{\displaystyle -1-x}\geqslant 0.\)

Решение:

Можно сразу применить метод интервалов.

Но лучше, чтобы не запутаться со знаками, умножить обе части неравенства на \((-1)\) и не забыть поменять знак неравенства на противоположный.

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle (x-1)(x+2)^2}{\displaystyle -1-x}\geqslant 0 \Leftrightarrow \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle (x-1)(x+2)^2}{\displaystyle x+1}\leqslant 0.\)

Теперь применим метод интервалов.

Отметим на координатной прямой нули числителя и знаменателя и определим знаки на интервалах.

Обратите внимание, что знак не меняется при переходе через точку \(x=-2\), так как множитель \(x+2\) входит в выражение в левой части неравенства в четной степени.

Ответ: \(x\in \{-2\} \cup (-1;1].\)

12. Решите неравенство: \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x^2-1}{\displaystyle x^2-6x-7}< 0.\)

Решение:

Разложим числитель и знаменатель на множители:

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x^2-1}{\displaystyle x^2-6x-7}< 0 \Leftrightarrow \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle (x-1)(x+1)}{\displaystyle (x-7)(x+1)}< 0.\)

Сократим на множитель \((x+1)\) при условии, что \(x\neq-1\).

Здесь мы действуем чуть иначе, чем в задаче 9.

Неравенство равносильно системе:

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle (x-1)(x+1)}{\displaystyle (x-7)(x+1)}< 0 \Leftrightarrow \) \( \begin{cases}
x \neq -1, \\
\displaystyle \frac{x-1}{x-7} <0. \\
\end{cases}\)

Решаем второе неравенство системы методом интервалов:

Второму неравенству удовлетворяют точки \(1<x<7\).

Точка \(x=-1\) в этот промежуток не входит.

Ответ: \(x\in(1;7).\)

13. Решите неравенство: \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x^2-4x-5}{\displaystyle (x-2)^4(x-4)^5} \geqslant 0.\)

Решение:

Разложив числитель на множители, получим:

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle x^2-4x-5}{\displaystyle (x-2)^4(x-4)^5} \geqslant 0 \Leftrightarrow \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle (x-5)(x+1)}{\displaystyle (x-2)^4(x-4)^5} \geqslant 0.\)

Применим метод интервалов.

Отметим на числовой оси точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль. Обратите внимание, что точки \(-1\) и \(5\) закрашены, а точки \(2\) и \(4\) пустые.

Определим знаки на интервалах.

Знак не меняется при переходе через точку \( x=2 \), так как множитель \(x-2\) входит в выражение в левой части неравенства в четной степени. При переходе через точку \(4\) знак меняется, степень соответствующего множителя нечетная.

В ответе запишем интервалы, на которых неравенство выполняется.

Ответ: \( x \in [-1;2) \cup (2;4) \cup [5;\infty). \)

14. Решите неравенство: \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle (x^3-64)(x^2-1)}{\displaystyle x^3+1} \leqslant 0.\)

Решение:

Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения: суммы и разности кубов, разности квадратов.

\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle (x^3-64)(x^2-1)}{\displaystyle x^3+1} \leqslant 0 \Leftrightarrow \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle (x-4)(x^2+4x+16)(x-1)(x+1)}{\displaystyle (x+1)(x^2-x+1)}\leqslant 0.\)

Кажется, что неравенство сложное. Попробуем разложить на множители выражения \( x^2+4x+16 \) и \( x^2-x+1 .\)

Оказывается, что дискриминанты соответствующих квадратных уравнений отрицательны, поэтому \( x^2+4x+16>0 \) и \(x^2-x+1>0 \) при всех \(x\).

Разделим обе части неравенства на эти положительные выражения.

Получим: \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle (x-4)(x-1)(x+1)}{\displaystyle (x+1)} \leqslant 0.\)

Неравенство равносильно системе:

\( \begin{cases}
(x-4)(x-1) \leqslant 0,\\
x \neq -1.\\
\end{cases} \)

Решим первое неравенство системы методом интервалов:

\((x-4)(x-1)\leqslant 0\)

Его решением является промежуток \([1; 4]\), причем точка \(x=-1\) в этот промежуток не входит.

Ответ: \(x \in [1; 4].\)

Мы показали на различных примерах, как применяется метод интервалов.

Сделаем вывод:
Метод интервалов помогает решать дробно-рациональные неравенства по алгоритму. Правила просты: приводим неравенство к такому виду, что в его левой части – произведение множителей или дробь, а в правой – ноль. Находим точки, в которых левая часть обращается в ноль или не определена. Отмечаем на числовой оси эти точки. Они разбивают числовую ось (или координатную прямую) на интервалы, на каждом из которых функция в левой части неравенства сохраняет свой знак. Определяем знаки на интервалах, помня о правилах чередования знаков. И записываем ответ.

---