Вычисление перемещения по графику проекции скорости

Из кодификатора по физике, 2020.
«1.1.3. Вычисление перемещения по графику зависимости υ(t).»

Теория

Пусть задан график зависимости проекции скорости \({ v }_{ x }\) от времени t (рис. 1).

Проекция перемещении тела \({ s }_{ x }\) за промежуток времени от \({ t }_{ 1 }\) до \({ t }_{ 2 }\) численно равна площади фигуры, ограниченной графиком \({ v }_{ x }(t)\), осью времени 0t и перпендикулярами к \({ t }_{ 1 }\) и \({ t }_{ 2 }\) (см. рис. 1, площадь выделена штриховкой).

Проекцию перемещения на ось 0Х будем считать:

— положительной, если проекция скорости на данную ось положительна (тело движется по направлению оси) (см. рис. 1);

— отрицательной, если проекция скорости на данную ось отрицательна (тело движется против оси) (рис. 2).

Путь s может быть только положительным:

Напоминаем формулы для расчета площадей фигур:

— прямоугольника – \(S=a\cdot b\)

— треугольника – \(S=\frac { a\cdot h }{ 2 }\)

— трапеции – \(S=\frac { a+b }{ 2 } \cdot h\)

Задачи

Задача 1. По графику проекции скорости тела (рис. 3) определите проекцию его перемещения между 1 и 5 с.

Ответ: ____ м.

Решение. Проекция перемещения за промежуток времени Δt=\({ t }_{ 2 }\)–\({ t }_{ 1 }\)=5с–1с=4c численно равна площади фигуры, ограниченной графиком \({ v }_{ x }(t)\), осью времени 0t и перпендикулярами к \({ t }_{ 1 }=1\) с и \({ t }_{ 2 }=5\) с (рис. 4, площадь выделена штриховкой). Фигура ABCD — это трапеция, ее площадь равна

\(S=\frac { a+b }{ 2 } \cdot h=\frac { AD+BC }{ 2 } \cdot DC\)

где DC = Δt = 4 c, AD = 3 м/c, BC = 5 м/c. Тогда S = 16 м.
Проекция перемещения \({ s }_{ x }>0\), т.к. проекция скорости \({ v }_{ x }>0\).
\({ s }_{ x }=S=16\) м.

Ответ: 16.

 

Задача 2. Автомобиль движется по прямой улице вдоль оси X. На рисунке 5 представлен график зависимости проекции скорости автомобиля от времени. Определите путь, пройденный автомобилем в течение указанных интервалов времени.

В бланк ответов перенесите только числа, не разделяя их пробелом или другим знаком.

Решение. Путь за промежуток времени Δt = \({ t }_{ 2 }\) – \({ t }_{ 1 }\) численно равна площади фигуры, ограниченной графиком \({ v }_{ x }(t),\) осью времени 0t и перпендикулярами к \({ t }_{ 1 }\) и \({ t }_{ 2 }\).

На интервале [0 с, 10 с] ищем площадь треугольника (рис. 6).

\({ S }_{ 1 }=\frac { a\cdot h }{ 2 }\),

где a = 20 м/c, \(h=\triangle { t }_{ 1 }=10c-0c=10c\). Тогда \({ S }_{ 1 }=100\) м.

Путь равен значению площади (путь всегда положительный, т.е. s > 0).

\({ s }_{ 1 }={ S }_{ 1 }=100\) м.

На интервале [30 с, 40 с] ищем площадь трапеции (см. рис. 6).

\({ S }_{ 2 }=\frac { a+b }{ 2 } \cdot h\),

где a = 10 м/c, b = 15 м/c, h = Δt = 40 c – 30 с = 10 с. Тогда \({ s }_{ 2 }={ S }_{ 2 }=125\) м.

Ответ: 100125.

Задача 3. Определите за первые 4 с (рис. 7):

а) проекцию перемещения тела;

б) пройденный путь.

Ответ: а) ____ м; б) ____ м.

 

Решение. Проекция перемещения за время \(\triangle t={ t }_{ 2 }-{ t }_{ 1 }=4c-0=4c\) (первые 4 с) равна площади фигуры, ограниченной графиком \({ v }_{ x }(t)\), осью времени 0t и перпендикулярами к \({ t }_{ 1 }=0\) с и \({ t }_{ 2 }=4\) с (рис. 8, площадь выделена штриховкой).

Так как при \({ t }_{ 0 }=3\) с проекция скорости поменяла знак, то получили два треугольника, площади которых равны:

\({ S }_{ 1 }=\frac { { a }_{ 1 }\cdot { h }_{ 1 } }{ 2 } ,\quad { S }_{ 2 }=\frac { { a }_{ 2 }\cdot { h }_{ 2 } }{ 2 }\) ,

где

\({ a }_{ 1 }=30\quad\) м/с, \(\quad { h }_{ 1 }=\triangle { t }_{ 1 }=3c-0c=3c\)

\({ a }_{ 2 }\)=|-10 м/c|=10 м/c, \(\quad { h }_{ 2 }=\triangle { t }_{ 2 }=4c-3c=1c\).

Тогда \({ S }_{ 1 }=45\)м, \(\quad { S }_{ 2 }=5\)м.

а) Проекция перемещения \({ s }_{ 1x }>0\), т.к. проекция скорости \({ v }_{ 1x }>0\); проекция перемещения \({ s }_{ 2x }<0\), т.к. проекция скорости \({ v }_{ 2x }<0\). В итоге получаем: \({ s }_{ x }={ s }_{ 1x }+{ s }_{ 2x }={ S }_{ 1 }-{ S }_{ 2 },\quad { s }_{ 1x }=\)45м - 5м = 40 м. б) Путь равен значению площади (путь всегда положительный, т.е. s>0). \(s={ S }_{ 1 }+{ S }_{ 2 }\), s = 45 м + 5 м = 50 м. Ответ: а) 40; б) 50.

Задача 4. График зависимости проекции скорости материальной точки, движущейся вдоль оси 0Х, от времени изображен на рисунке 9. Определите перемещение точки, которое она совершила за первые 6 с.

Ответ: ____ м.

Решение. Проекция перемещения за время \(\triangle t={ t }_{ 2 }-{ t }_{ 1 }=6c-0=6c\) (пер-вые 6 с) численно равна площади фигуры, ограниченной графиком \({ v }_{ x }(t)\), осью времени 0t и перпендикулярами к \({ t }_{ 1 }=0 c\) и \({ t }_{ 2 }=6 c\) (рис. 10, площадь выделена штриховкой).

Так как при \({ t }_{ 01 }=2c\) и \({ t }_{ 02 }=4c\) проекция скорости меняет знак, то получили три фигуры, три треугольника, площади которых равны:

\({ S }_{ 1 }=\frac { { a }_{ 1 }\cdot { h }_{ 1 } }{ 2 } ,\quad { S }_{ 2 }=\frac { { a }_{ 2 }\cdot { h }_{ 2 } }{ 2 } ,\quad { S }_{ 3 }=\frac { { a }_{ 3 }\cdot { h }_{ 3 } }{ 2 } ,\)

где

\({ a }_{ 1 }=3\) м/с, \(h_{ 1 }=\triangle { t }_{ 1 }=2c-0c=2c\)

\({ a }_{ 2 }=\)|-2 м/c| = 2 м/с, \(h_{ 2 }=\triangle { t }_{ 2 }=4c-2c=2c\)

\({ a }_{ 2 }=\)3м/c, \(h_{ 3 }=\triangle { t }_{ 3 }=6c-4c=2c\).

Тогда \({ S }_{ 1 }=3\) м, \({ S }_{ 2 }=2\) м, \({ S }_{ 3 }=3\) м.

Проекция перемещения \({ s }_{ 1x }>0\), т.к. проекция скорости \({ v }_{ 1x }>0\).

Проекция перемещения \({ s }_{ 2x }<0\), т.к. проекция скорости \({ v }_{ 2x }<0\). Проекция перемещения \({ s }_{ 3x }>0\), т.к. проекция скорости \({ v }_{ 3x }>0\). В итоге получаем:

\({ s }_{ x }={ s }_{ 1x }+{ s }_{ 2x }+{ s }_{ 3x }={ S }_{ 1 }-{ S }_{ 2 }+{ S }_{ 3 },\quad { s }_{ x }=\) 3 м – 2 м + 3 м = 4 м.

Ответ: 4.

 

Задача 5. На рисунке приведен график зависимости \(v_x\) скорости тела от времени \(t\).

Определите путь, пройденный телом в интервале времени от 0 до 5 с.

Ответ: ____ м.

Решение. Здесь нам необходимо умение читать графики. В задаче рассматривается зависимость проекции скорости тела от времени. На интервале от 0 до 3с проекция скорости уменьшается от значения 15 м/с до 0. На интервале от 3 до 5с модуль проекции возрастает от нулевого значения до 10 м/с. Важно заметить, что тело в этом временном интервале начинает движение в направлении, противоположном оси ОХ.

Пройденный путь равен площадью фигуры под графиком проекции скорости.

Рис.1

Решение сводится к нахождению площадей двух треугольников, заштрихованных на рис.1

\(S_1=\frac{15\cdot 3}{2}=22,5\) (м).

\(S_2=\frac{10\cdot 2}{2}=10\) (м).

Общий путь в интервале времени от 0 до 5с определяется суммой отдельных путей \(S_1\) и \(S_2\).

\(S_o = S_1+S_2\)
\(S_o = 22,5+10=32,5\) (м).
Ответ: 32,5 м

Мы находим проекцию перемещения в интервале времени от 0 до 5с.

Учитываем, что проекция перемещения в интервале времени от 0 до 3 с положительная и её значение равно пройденному пути на этом интервале.

\(S_{1x}=S_1=22,5\) (м).

В интервале времени от 3 с до 5 с проекция перемещения отрицательная, так как тело движется в направлении противоположном оси ОХ.

\(S_{2x}=-10\) (м).

Проекция перемещения за весь интервал времени будет равна \(S_{o.x}=S_{1x}+S_{2x}\)
\(S_{o.x}=22,5+(-10)=12,5\) (м).

Ответ: 12,5 м

Задача 6. На рисунке представлен график зависимости модуля скорости v прямолинейно движущегося тела от времени t. Определите по графику путь, пройденный телом в интервале времени от 1 до 5 с.

Ответ: ____ м.

Решение. Для нахождения пройденного пути в интервале времени от 1с до 5с рассчитываем площадь геометрической фигуры под графиком модуля скорости.

Рис.1

Находим площадь трапеции, заштрихованной на графике (см. рис.1).

\(S=\frac{4+2}{2}\cdot 10=30\) (м).

Особенность задачи: необходимо внимательно отследить временной интервал, на котором требуется рассчитать пройденный путь.
Ответ: 30 м.

Задача 7. Из двух городов навстречу друг другу с постоянной скоростью двиижутся два автомобиля. На графике показана зависимость расстояния между автомобилями от времени. Скорость первого автомобиля равна 15 м/с. Какова скорость второго автомобиля?

Ответ: ____ м.

Решение. При движении навстречу друг другу расстояние между автомобилями уменьшается от значения 144 км до 0. На графике видно, что встреча автомобилей произошла в момент времени 60 минут, так как расстояние между автомобилями стало равным 0. Расчеты в задаче требуют применения системы «СИ».

144 км = 144000 м; 60 мин = 3600 с.
Находим скорость сближения автомобилей.

\(v=\frac{144000}{3600}=40\) м/с

Так как автомобили движутся навстречу друг другу, то \(v=v_1+v_2,\) и скорость второго автомобиля равна \(v_2=v-v_1\)

\(v_2=40-15=25\) (м/с)

Ответ: 25 м/с.

Задача 8. На рисунке представлен график зависимости модуля скорости тела от времени. Найдите путь, пройденный телом за время от момента времени 0 с до момента времени 5 с. (Ответ дайте в метрах.)

Ответ: ____ м.

Решение. Для нахождения пройденного пути необходимо рассчитать площадь геометрической фигуры (трапеции) под графиком модуля скорости (см.рис.1). Это относится к интервалу времени от 0 до 3 с. От 3 с до 5 с скорость тела равна 0, следовательно, тело находилось в состоянии покоя и пройденный путь в этом интервале равен 0.

Рис.1

\(S_1=\frac{3+1}{2}\cdot 10=20\) (м).
\(S_2=0\)
\(S_o=20+0=20\) (м).

Сакович А.Л., 2020