Slider

Простейшие тригонометрические уравнения. Часть 1.

Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:

sin\mkern 2mu x=a
cos\mkern 2mu x=a
tg\mkern 2mu x=a
ctg\mkern 2mu x=a

Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники часто допускают ошибки, что ведет к потере баллов на ЕГЭ.  Именно поэтому так важна данная тема.

Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений.
Первый подход — бессмысленный и тяжёлый. Следуя ему, надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрежки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы отказываемся от такого подхода раз и навсегда.

Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций..

 

Уравнения cos\mkern 2mu x=a и sin\mkern 2mu x=a

Напомним, что cos\mkern 2mu x — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу x, а sin\mkern 2mu x — её ордината.

Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения cos\mkern 2mu x=a и sin\mkern 2mu x=a имеют решения только при условии |a| \leq 1.

Абитуриент, будь внимателен! Уравнения sin\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} или cos\mkern 2mu x=7 решений не имеют!

Начнём с самых простых уравнений.

1. cos\mkern 2mu x=1.
Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1:
Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: 0, 2\pi, -2\pi, 4\pi, -4\pi, 6\pi, -6\pi,\ldots. Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов 2\pi (т. е. нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).

Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:

x=2\pi n, n\in Z

Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что Z — это множество целых чисел.

 

2. cos\mkern 2mu x=-1.

Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой -1:

Эта точка соответствует углу \pi и всем углам, отличающихся от \pi на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:

x=\pi + 2\pi n, n\in Z

 

 

3. sin\mkern 2mux=1.
Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой 1:

И записываем ответ:

x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2} + 2\pi n, n\in Z

 

 

 

 

 

 

4. sin\mkern 2mu x=-1.

Обсуждать тут уже нечего, не так ли? :-)

x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2} + 2\pi n, n\in Z

Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:

x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3\pi}{\displaystyle 2} + 2\pi n, n\in Z

Это — дело исключительно вашего вкуса.
Заодно сделаем первое полезное наблюдение. Чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого м
ножества и прибавить 2\pi n.

5. sin\mkern 2mu x=0.

На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой 0:

Эти точки соответствуют углам 0, \pm \pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \ldots Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов \pi (т. е. с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны). Таким образом,

x=\pi n, n\in Z

Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.

 

6. cos\mkern 2mu x=0.

Точки с абсциссой 0 также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:

Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из — \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2} прибавлением целого числа углов \pi (полуоборотов):

x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2} + \pi n, n\in Z

Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.
Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить \pi n.

Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от 0 или 1). Начинаем с косинуса.

7. cos\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}:

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):

x_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3} + 2\pi n, n\in Z

Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:

x_2=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3} + 2\pi n, n\in Z

Обе серии решений можно описать одной формулой:

x_1= \pm \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3} + 2\pi n, n\in Z

Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.

8. cos\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}
x= \pm \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4} + 2\pi n, n\in Z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

9. cos\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}

x= \pm \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n, n\in Z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

10. cos\mkern 2mu x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}
x= \pm \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2\pi}{\displaystyle 3} + 2\pi n, n\in Z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

11. cos\mkern 2mu x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}
x= \pm \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3\pi}{\displaystyle 4} + 2\pi n, n\in Z

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

12. cos\mkern 2mu x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}
x= \pm \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5\pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n, n\in Z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее.

13. sin\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}

Имеем горизонтальную пару точек с ординатой \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}:

Углы, отвечающие правой точке:
x_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n, n\in Z
Углы, отвечающие левой точке:
x_2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5\pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n, n\in Z
 
 
 
 
 
 
Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет. Можно записать ответ в таком виде:

\left[\begin{matrix}x_1=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n,\\x_2=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5\pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n, n\in Z\end{matrix}\right.

Тем не менее, объединяющая формула существует, и её надо знать. Выглядит она так:

x=\left( -1 \right)^k \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + \pi k, k\in Z

На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она дат обе серии решений. Но давайте посмотрим, что получается при чётных k. Если k=2n, то

x=\left( -1 \right)^{2n} \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + \pi \cdot 2n=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n

Мы получили первую серию решений x_1. А если k — нечтно, k=2n+1, то

x=\left( -1 \right)^{2n+1} \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + \pi \cdot \left( 2n+1 \right)=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n+\pi=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5\pi}{\displaystyle 6} + 2\pi n

Это вторая серия x_2.

Обратим внимание, что в качестве множителя при \left( -1 \right)^k обычно ставится правая точка, в данном случае — \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}.

Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.

14. sin\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}

\left[\begin{matrix}x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}+2\pi n,\\x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3\pi}{\displaystyle 4}+2\pi n, n\in Z\end{matrix}\right.

x=\left( -1 \right)^k\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}+\pi k, k\in Z
 
 
 
 
 
 
 

15. sin\mkern 2mu x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}

\left[\begin{matrix}x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}+2\pi n,\\x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2\pi}{\displaystyle 3}+2\pi n, n\in Z\end{matrix}\right.

x=\left( -1 \right)^k\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}+\pi k, k\in Z
 
 
 
 
 
 
 
 

16. sin\mkern 2mu x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}
\left[\begin{matrix}x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}+2\pi n,\\x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 5\pi}{\displaystyle 6}+2\pi n, n\in Z\end{matrix}\right.

x=\left( -1 \right)^k\left( -\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}\right)+\pi k=\left( -1 \right)^{k+1}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6}+\pi k, k\in Z
 
 
 
 
 
 
 
 

17. sin\mkern 2mu x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{2}}{\displaystyle 2}

\left[\begin{matrix}x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}+2\pi n,\\x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 3\pi}{\displaystyle 4}+2\pi n, n\in Z\end{matrix}\right.

x=\left( -1 \right)^{k+1}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4}+\pi k, k\in Z
 
 
 
 
 
 
 
 

18. sin\mkern 2mu x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 2}
\left[\begin{matrix}x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}+2\pi n,\\x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2\pi}{\displaystyle 3}+2\pi n, n\in Z\end{matrix}\right.

x=\left( -1 \right)^{k+1}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3}+\pi k, k\in Z

На этом с синусом и косинусом пока всё. Переходим к тангенсу.
 
 
 
 
 
 
 
 

Линия тангенсов.

Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная AB к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).

Из подобия треугольников OAB и ONM имеем:

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle AB}{\displaystyle OA}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle MN}{\displaystyle ON}

Но OA=1, MN=sin\mkern 2mux , ON=cos\mkern 2mux, поэтому

AB=tg\mkern 2mux

Мы рассмотрели случай, когда x находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда x находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.

Тангенс угла x равен ординате точки B, которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой OM, соединяющей точку x с началом координат.

Вот рисунок в случае, когда x находится во второй четверти. Тангенс угла x отрицателен.
 
 
 
 
 
 
 
 

Уравнение tg\mkern 2mux=a

Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение tg\mkern 2mux=a имеет решения при любом a.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19. tg\mkern 2mux=0
Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:

Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:

x=\pi n, n \in Z

20. tg\mkern 2mux=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}}

Имеем диаметральную пару:

Вспоминаем второе полезное наблюдение и пишем ответ:

x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + \pi n, n \in Z

Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.


21. tg\mkern 2mux=1
x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4} + \pi n, n \in Z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

22. tg\mkern 2mux=\sqrt{3}
x=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3} + \pi n, n \in Z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

23. tg\mkern 2mux=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt{3}}
x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 6} + \pi n, n \in Z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

24. tg\mkern 2mux=-1
x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 4} + \pi n, n \in Z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

25. tg\mkern 2mux=-\sqrt{3}
x=-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle \pi}{\displaystyle 3} + \pi n, n \in Z

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
На этом заканчиваем пока и с тангенсом.

Уравнение ctg\mkern 2mux=a нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что:
уравнение ctg\mkern 2mux=0 равносильно уравнению cos\mkern 2mux=0; при a \neq 0 уравнение ctg\mkern 2mux=a равносильно уравнению tg\mkern 2mux=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle a}.

Впрочем, существует также и линия котангенсов, но. . . Об этом мы вам расскажем на занятиях :-)

Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций. Именно такие задачи встречаются в части В вариантов ЕГЭ.

А что делать, например, с уравнением sin\mkern 2mux=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}? Для этого надо сначала познакомиться с обратными тригонометрическими функциями. О них мы расскажем вам в следующей статье.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить