Slider

Геометрический парадокс: прямой угол равен тупому

Я очень люблю эту задачу. Мне нравится наблюдать за реакцией учеников и за процессом поиска решения. Самое приятное - что доказательство полностью соответствует чертежу, основано на известных теоремах, и логических ошибок нет ни в одном его пункте :-)

Итак, прямой угол равен тупому, и сейчас мы это докажем.

Прямой угол равен тупому?!

Построение.

Проведем отрезок AB. Построим углы C \mkern -2mu AB – прямой и AB \mkern -2mu D – тупой.

Построим отрезки AC=B \mkern -2mu D.

Соединим точки C и D.

Пусть M — середина AB, K — середина CD.
Проведем серединный перпендикуляр M \mkern -2mu N к отрезку AB и серединный перпендикуляр K \mkern -2mu N к отрезку CD.
M \mkern -2mu N и K \mkern -2mu N пересекаются в точке N.

Доказательство.

  1. Рассмотрим треугольник ABN. Он равнобедренный — поскольку M — середина AB,
    M \mkern -2mu N перпендикулярен AB (по построению), а если в треугольнике высота одновременно является медианой,
    значит, он равнобедренный. Следовательно, AN=BN, угол M \mkern -2mu AN равен углу M \mkern -2mu BN.
  2. Аналогично, треугольник CDN — равнобедренный, следовательно,
    CN=DN.
  3. Рассмотрим треугольники C \mkern -2mu AN и D \mkern -2mu B \mkern -2mu N.
    Поскольку AN=BN, CN=DN (по доказанному), а AC=B \mkern -2mu D (по построению), значит, треугольник C \mkern -2mu AN равен треугольнику D \mkern -2mu B \mkern -2mu N (по трём сторонам).
    Следовательно, угол C \mkern -2mu AN равен углу D \mkern -2mu B \mkern -2mu N.
  4. Мы доказали, что
    угол C \mkern -2mu AN равен углу D \mkern -2mu B \mkern -2mu N,
    угол M \mkern -2mu AN равен углу M \mkern -2mu BN.
  5. Поскольку угол C \mkern -2mu AN равен сумме углов M \mkern -2mu AN и CAM,
    а угол D \mkern -2mu B \mkern -2mu N равен сумме углов M \mkern -2mu BN и DB \mkern -2mu A, мы получаем, что
    угол C \mkern -2mu AM равен углу DB \mkern -2mu A.

Получили, что прямой угол равен тупому. Что и требовалось доказать :-)

Чтобы разгадать этот парадокс, сделайте аккуратный чертеж. Тогда вы кое-что заметите.
Если вы учитель или репетитор – дайте эту задачу своим ученикам. Ведь они привыкли, что чертёж должен быть верным, а преподаватель — авторитет и поэтому всегда говорит правду :-)

Еще один геометрический парадокс: Катет равен гипотенузе.

видеокурс для успешной сдачи ЕГЭ

«Полный видеокурс для успешной сдачи ЕГЭ по математике»

Этот курс заменяет полгода занятий с репетитором. Он включает в себя всю часть «B» и задачу «C1». Просто, понятно и доступно. Автор - репетитор-профессионал Анна Георгиевна Малкова.
Данного видеокурса достаточно для того, чтобы сдать ЕГЭ на «5».

Внимание! Тотальная распродажа! Именно сейчас вы можете получить все 5 дисков видеокурса по минимальной цене 5000 2500 рублей. Количество комплектов ограничено. Не опоздайте!
Заказать


Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить