previous arrow
next arrow
Slider

Арифметическая прогрессия в задачах ОГЭ по математике

Анна Малкова

Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа d:

a_{n+1}= a_n+d, \, \, (n = 1,2,...).

Фиксированное число d называется разностью арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

a_n=a_1+(n-1)d.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии S_n=a_1+a_2+...+a_n

вычисляется по формуле:

S_n=\frac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее  арифметическое соседних: a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}.

1. Студент Василий задумал стать репетитором. Он рассчитал, что будет проводить ровно 4 занятия в месяц с каждым учеником и стоимость каждого занятия составит 1000 рублей.

а) Если в первый месяц у Василия 2 ученика и каждый месяц число учеников увеличивается на 1, то сколько заработает Василий за 12-й месяц работы?

б) Сколько всего заработает Василий за год (то есть за 12 месяцев работы)?

В первый месяц у Василия два ученика. Во второй – три ученика, в третий – четыре, в каждый следующий – на одного ученика больше. Число учеников Василия образует арифметическую прогрессию, где a_1=2 – первый член прогрессии, d = 1 – разность прогрессии.

По формуле n-ного члена арифметической прогрессии, a_n=a_1+(n-1)d.

Получим:

a_{12}=2+(12-1)\cdot 1=2+11=13.

а) Работая 12-й месяц, Василий обучает 13 учеников.

Проводя с каждым 4 занятия по 1000 рублей в месяц, Василий заработает за 12-й месяц 13\cdot 4=52 тысячи рублей.

б) Сколько всего заработает Василий за год? Суммы, которые Василий зарабатывает ежемесячно, также образуют арифметическую прогрессию, в которой n=12, c_1 =8  тысяч рублей, а c_{12} =52 тысячи рублей.

По формуле суммы арифметической прогрессии, S_n=\frac{(c_1+c_n)}{2}\cdot n.

S_{12}=\frac{\left(8+52\right)}{2}\cdot 12=360 тысяч рублей.

2. Проработав год репетитором, студент Василий обнаружил, что вместе с количеством учеников растут и его расходы на транспорт. В первый месяц Василий потратил на поездки к ученикам 800 рублей и каждый следующий месяц эта сумма увеличивалась на 300 рублей

Сколько денег потратил Василий на поездки к ученикам за весь год?

По условию, суммы денег, которые Василий тратит на поездки к ученикам, образуют арифметическую прогрессию, в которой a_1=800 и d=300.

По формуле суммы арифметической прогрессии, S_n=\frac{{2a}_1+\left(n-1\right)d}{2}\cdot n

Получим: S_{12}=\frac{1600+\left(12-1\right)\cdot 300}{2}\cdot 12=29400 рублей.

3. Ученица Маша хочет сдать тест не менее чем на 88 баллов. Студент Василий заметил, что каждый месяц результат Маши увеличивается на 7 баллов. За сколько месяцев занятий Маша достигнет результата, если ее результат до начала занятий составлял 43 балла?

После первого месяца занятий результат Маши улучшается на 7 баллов и составляет 43 + 7 = 50 баллов. Еще через месяц 50 + 7 = 57 баллов.

Мы имеем дело с арифметической прогрессией, в которой a_1=43,d=7.

Пусть результат не ниже 88 баллов достигнут через n месяцев. Получим:

a_n=a_1+(n-1)d=43+7\cdot (n-1)\geq 88.

43+7\cdot (n-1)\geq 88

n-1\geq \frac{45}{7}

n\geq \frac{52}{7}

Так как n – целое, n\geq 8. Осталось ответить на вопрос задачи.

Результаты теста Маши составляют арифметическую прогрессию, в которой a_1=43, a_2=50... a_8=a_1+(n-1)d=43+(8-1)\cdot 7=92.

Значит, через 1 месяц занятий результат Маши увеличится до 50, через два – до 57, а через семь – до 92.

Семь месяцев занятий нужно Маше, чтобы достичь результата.

Задачи ОГЭ на тему «Арифметическая прогрессия»

4. (Задача ОГЭ)

В пер­вом ряду ки­но­за­ла 30 мест, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколь­ко мест в ряду с но­ме­ром n?

1) 28 + 2n   2) 30 + 23) 32+2 4) 2n

Количество мест в рядах ки­но­за­ла об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую прогрессию. По фор­му­ле для на­хож­де­ния n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

a_n=a_1+(n-1)d

В нашей прогрессии a_1=30,\, \, d=2.

Значит, a_n=30+2(n-1)=28+2n.

Правильный ответ: 1.

5. (Задача ОГЭ) Выписаны пер­вые не­сколь­ко чле­нов ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: −87 ; −76; −65; … Най­ди­те пер­вый по­ло­жи­тель­ный член этой прогрессии.

Найдем разность прогрессии: d= a_2-a_1=(-76)-(-87)=11.

По фор­му­ле для на­хож­де­ния n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: a_n=a_1+(n-1)d

Мы хотим найти первый положительный член этой прогрессии. Это значит, что мы находим номер n, начиная с которого выполняется неравенство .

Получим:

Отсюда  

Значит, a_9 – первый положительный член прогрессии. Он равен: a_9= a_1+8d=1.

Задачи ОГЭ для самостоятельного решения:

1. Най­ди­те сумму всех от­ри­ца­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии –7,2; –6,9; …

2. Вы­пи­са­но не­сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: …; −9; x; −13; −15; … Най­ди­те член про­грес­сии, обо­зна­чен­ный бук­вой .

Ответы к задачам:

1. Ответ: -90

2. Ответ: -11.