Вспомним, что такое арифметический квадратный корень.
Уравнение \(x^2=4\) имеет два решения: \(x=2\) и \(x=-2\).
Это числа, квадрат которых равен \(4\).
А как решить уравнение \(x^2=3\)?
Если мы нарисуем график функции \(y=x^2\), то увидим, что и у этого уравнения есть два решения, одно из которых положительно, а другое отрицательно.
Но эти решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того чтобы записать эти решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.
Арифметический квадратный корень из числа \(a\) — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\).
Запомните это определение.
Арифметический квадратный корень обозначается \(\sqrt{a}\).
Согласно определению, \({(\sqrt{a})}^2=a; \; \sqrt{a}\ge 0; \; a\ge 0.\)
Приведем несколько примеров.
\(4^2=4\cdot 4=16; \)
\(9^2=9\cdot 9=81; \)
\((-3)^2=(-3)\cdot (-3)=9. \)
Еще раз повторим определение: Арифметический квадратный корень из числа \(a\)- это такое неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\).
Это значит, что \(\sqrt{16}=4; \; \sqrt{81}=9\) (это наши первые два примера). Очевидно, \(\sqrt{0}=0. \)
А с третьим примером интереснее: \(\sqrt{{(-3)}^2}=\sqrt{9}=3,\) поскольку \(\sqrt{a}\ge 0\) по определению.
Обратите внимание:
1) В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение \(\sqrt{a}\) для нас сейчас имеет смысл только при \( a\ge 0. \)
2) Выражение \(\sqrt{a}\) всегда неотрицательно, т. е. \(\sqrt{a}\ge 0.\) Например, \(\sqrt{25}=5.\)
Свойства арифметического квадратного корня:
\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b};\)
\(\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}. \)
Запомним: выражения \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) и \(\sqrt{a+b}\) не равны друг другу. Легко проверить.
\(\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5\), верно? \(\sqrt{(-10)^2}=\sqrt{100}=10.\) Как вы думаете, чему в общем случае равен \(\sqrt{a^2}\;\)?
На этот вопрос мы ответим немного позже. А сейчас решим несколько задач из вариантов Профильного ЕГЭ по математике.
1. Найдите значение выражения \((\sqrt{54}-\sqrt{24})\cdot \sqrt{6}.\)
\(\left(\sqrt{54}-\sqrt{24}\right)\cdot \sqrt{6}=\sqrt{54}\cdot \sqrt{6}-\sqrt{24}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{324}-\sqrt{144}=18-12=6. \)
Обратите внимание: \(\sqrt{54}-\sqrt{24}\) не равен \(\sqrt{30}. \)
Ответ: \(6\).
2. Найдите значение выражения \(\sqrt{{65}^2-56^2}.\)
\(\sqrt{{65}^2-56^2} = \sqrt{\left(65-56\right)\cdot \left(65+56\right)} = \sqrt{9\cdot 121} = 3 \cdot 11 = 33. \)
Применили формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b) (a + b). \)
Ответ: \(33\).
3. Вычислите: \(\displaystyle \frac{(\sqrt{12}+\sqrt{8})^2}{10+\sqrt{96}}.\)
\(\displaystyle \frac{(\sqrt{12}+\sqrt{8})^2}{10+\sqrt{96}} = \frac{12+2\sqrt{12\cdot 8}+8}{10+\sqrt{96}} =\displaystyle \frac{20+2\sqrt{96}}{10+\sqrt{96}} =\displaystyle \frac{2\cdot (10+\sqrt{96})}{10+\sqrt{96}} = 2. \)
Применили формулу квадрата суммы.
4. Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{5\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}}{x}\) при \(x> 0.\)
\(\displaystyle \frac{5\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}}{x}=\displaystyle \frac{5\sqrt{x}}{\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2}=\displaystyle 5-\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{x}}=5. \)
Ответ: \(5\).
Иногда — например, при решении неравенств — надо сравнить два выражения, содержащих знак корня.
5. Что больше: \(\sqrt{6}-\sqrt{5} \) или \(\sqrt{7}-\sqrt{6}\) ?
Никаких приближенных вычислений!
Напомним еще раз, что \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne \sqrt{a+b}\), так что «убирать» корни мы не можем.
\(\sqrt{6}-\sqrt{5} \vee \sqrt{7}-\sqrt{6}; \)
\(2\sqrt{6}\vee \sqrt{7}+\sqrt{5}; \)
\(24\vee {(\sqrt{7}+\sqrt{5})}^2; \)
\(24\vee 7+2\sqrt{35}+5; \)
\(12\vee 2\sqrt{35}; \)
\(6\vee \sqrt{35}. \)
\(\sqrt{36}> \sqrt{35}\), значит, \(\sqrt{6}-\sqrt{5}>\sqrt{7}-\sqrt{6}.\)
График функции \(\mathbf y{\mathbf =}\sqrt{\mathbf x}\)
Построим график функции\(\; y=\sqrt{x}.\) Возьмем несколько значений аргумента \(x\), причем таких, что квадратный корень из них является целым числом.
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) | \(16\) | \(25\) |
| \(y=\sqrt{x}\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
Область определения функции: \(x \geq 0.\)
Область значений функции: \(y \geq 0.\)
Вот как выглядит график функции \(y=\sqrt{x}\)
Нарисуем в одной системе координат графики функций \(y=\sqrt{x}\) и \(y=x^2\) при \(x \geq 0.\)
Что же мы видим? При \(x \geq 0\) графики функций \(y= x^2\) и \(y =\sqrt{x}\) симметричны относительно прямой \(y = x.\)
То, что для функции \(y =\sqrt{x}\) является областью определения, для функции \(y= x^2\) — область значений (при неотрицательных \(x\)).
Такие функции называют взаимно-обратными.
Если вы внимательно читали эту статью, то помните, что один вопрос остался без ответа. Чему равен \(\sqrt{a^2}\) ?
Здесь \(a\) — некоторое число или выражение. По определению арифметического квадратного корня, \(\sqrt{a^2}\) — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен \(a^2.\) Оно равно \(a \geq 0\) и равно \(-a\) при \(a <0.\)
Узнаете определение модуля? Запомним:
Корень из квадрата: \(\boldsymbol{\sqrt{a^2}=\left | a \right |.}\)
