Slider

Арифметический квадратный корень

Вспомним, что такое арифметический квадратный корень.

Уравнение x^2=4 имеет два решения: x=2 и x=-2.

Это числа, квадрат которых равен 4.

А как решить уравнение x^2=3?

Если мы нарисуем график функции y=x^2, то увидим, что и у этого уравнения есть два решения, одно из которых положительно, а другое отрицательно.

квадратичная парабола

Но эти решения не являются целыми числами. Более того, они не являются рациональными. Для того чтобы записать эти решения, мы вводим специальный символ квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа a — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Запомните это определение.

Арифметический квадратный корень обозначается \sqrt{a}.

Согласно определению, {(\sqrt{a})}^2=a; \sqrt{a}\ge 0; a\ge 0.

Приведем несколько примеров.

4^2=4\cdot 4=16;

9^2=9\cdot 9=81;

(-3)^2=(-3)\cdot (-3)=9.

Еще раз повторим определение: Арифметический квадратный корень из числа a — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a

Это значит, что \sqrt{16}=4; \sqrt{81}=9 (это наши первые два примера). Очевидно, \sqrt{0}=0.

А с третьим примером интереснее: \sqrt{{(-3)}^2}=\sqrt{9}=3, поскольку \sqrt{a}\ge 0 по определению.

Обратите внимание:

1) В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение \sqrt{a} для нас сейчас имеет смысл только при a\ge 0.

2) Выражение \sqrt{a} всегда неотрицательно, т. е. \sqrt{a}\ge 0. Например, \sqrt{25}=5.

Свойства арифметического квадратного корня:

\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}

\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

Запомним: выражения \sqrt{a}+\sqrt{b} и \sqrt{a+b} не равны друг другу.Легко проверить.

\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5, верно? \sqrt{(-10)^2}=\sqrt{100}=10. Как вы думаете, чему в общем случае равен \sqrt{a^2} ?

На этот вопрос мы ответим немного позже. А сейчас решим несколько задач из вариантов Профильного ЕГЭ по математике.

1. Найдите значение выражения (\sqrt{54}-\sqrt{24})\cdot \sqrt{6}.

\left(\sqrt{54}-\sqrt{24}\right)\cdot \sqrt{6}=\sqrt{54}\cdot \sqrt{6}-\sqrt{24}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{324}-\sqrt{144}=18-12=6.

Обратите внимание: \sqrt{54}-\sqrt{24} не равен \sqrt{30}.

Ответ: 6.

2. Найдите значение выражения \sqrt{{65}^2-56^2}

\sqrt{{65}^2-56^2} = \sqrt{\left(65-56\right)\cdot \left(65+56\right)} = \sqrt{9\cdot 121} = 3 \cdot 11 = 33.

Применили формулу разности квадратов: a^2 - b^2 = (a - b) (a + b)

Ответ: 33.

3. Вычислите: \frac{(\sqrt{12}+\sqrt{8})^2}{10+\sqrt{96}}

\frac{(\sqrt{12}+\sqrt{8})^2}{10+\sqrt{96}} = \frac{12+2\sqrt{12\cdot 8}+8}{10+\sqrt{96}} = \frac{20+2\sqrt{96}}{10+\sqrt{96}} = \frac{2\cdot (10+\sqrt{96})}{10+\sqrt{96}} = 2.

Применили формулу квадрата суммы.

4. Найдите значение выражения \frac{5\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}}{x} при x \textgreater 0.

\frac{5\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}}{x}=\frac{5\sqrt{x}}{\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2}=5-\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{x}}=5

Ответ: 5

Иногда — например, при решении неравенств — надо сравнить два выражения, содержащих знак корня.

5. Что больше: \sqrt{6}-\sqrt{5} или \sqrt{7}-\sqrt{6} ?

Никаких приближенных вычислений!

Напомним еще раз, что \sqrt{a}+\sqrt{b}\ne \sqrt{a+b}, так что «убирать» корни мы не можем.

\sqrt{6}-\sqrt{5} \vee \sqrt{7}-\sqrt{6}

2\sqrt{6}\vee \sqrt{7}+\sqrt{5}

24\vee {(\sqrt{7}+\sqrt{5})}^2

24\vee 7+2\sqrt{35}+5

12\vee 2\sqrt{35}

6\vee \sqrt{35}

36 \textgreater 35, значит, \sqrt{6}-\sqrt{5} \textgreater \sqrt{7}-\sqrt{6}.

График функции  \mathbf y{\mathbf =}\sqrt{\mathbf x}

Построим график функцииy=\sqrt{x}. Возьмем несколько значений аргумента x, причем таких, что квадратный корень из них является целым числом.

x 0 1 4 9 16 25
y=\sqrt{x} 0 1 2 3 4 5

Область определения функции: x \geq 0.

Область значений функции: y \geq 0.

Вот как выглядит график функции y=\sqrt{x}

Нарисуем в одной системе координат графики функций y=\sqrt{x} и y=x^2 при x \geq 0.

Что же мы видим? При x \geq 0 графики функций y= x^2x и y =\sqrt{x} симметричны относительно прямой y = x.

То, что для функции y =\sqrt{x} является областью определения, для функции y= x^2 — область значений (при неотрицательных x).

Такие функции называют взаимно-обратными. 

Корень из квадрата:  \boldsymbol{\sqrt{a^2}=\left | a \right |.}

Если вы внимательно читаете эту статью, то помните, что один вопрос остался без ответа. Чему равен \sqrt{a^2} ?

Здесь a — некоторое число или выражение. По определению арифметического квадратного корня, \sqrt{a^2} — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a^2. Оно равно a при \geq 0 и равно -a при a \textless 0. Узнаете определение модуля? Запомним:

\boldsymbol{\sqrt{a^2}=\left | a \right |.}

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.