В задачах с параметрами Профильного ЕГЭ по математике нам встречаются не только графики функций (в школьном смысле этого слова), но и графики уравнений.
Например, окружность с центром в начале координат и радиусом \(2\) не является, в школьном смысле слова, графиком функции. Мы видим, что значению \(x=0\) соответствуют два значения \(y\), \(2\) и \(-2\). Такая окружность задается уравнением \(x^2 + y^2 = 4\):
В этой теме мы будем строить графики уравнений. Познакомимся с «базовыми» элементами для решения задач с параметрами – уравнениями окружности, полуокружности, ромба, отрезка и других фигур.
1. Уравнение \(x^2 + y^2 = R^2\) задает окружность с центром в начале координат и радиусом \( \left | R \right | .\)
2. Уравнение \({(x-a)}^2 + {(y-b)}^2 = R^2\) задает окружность с центром в точке \((a; b)\) и радиусом \( \left | R \right | .\)
3. Неравенство \({(x-a)}^2 + {(y-b)}^2 \leq R^2\) задает круг вместе с границей.
4. Уравнение \(y = \sqrt{(R^2-x^2)}\) задает верхнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом \( \left | R \right | .\)
5. Уравнение \(y = - \sqrt{(R^2-x^2)}\) задает нижнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом \( \left | R \right | .\)
6. Уравнение \(y=\sqrt{R^{2}-(x-a)^{2}}+b\) задает верхнюю полуокружность центром в точке \((a; b)\) и радиусом \(R\), где \(R>0\).
7. Уравнение \(a |x| + b | y| = c\) при положительных \(a, b\) и \(c\) задает ромбик, симметричный относительно начала координат.
8. Уравнение \(y = |x-a| + |x-b|\) (сумма модулей) задает график следующего вида:
9. Расстояние между точками \(A (x_1; y_1)\) и \(B (x_2; y_2) \) находится по формуле:
\(AB=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}.\)
Координаты середины \(M\) отрезка\(AB\) находятся по формуле:
\(x_m = \displaystyle\frac{x_1+x_2}{2}; \; y_m = \displaystyle\frac{y_1+y_2}{2}.\)
Уравнение отрезка \([MN],\) концы отрезка \(M (a; b)\) и \(N (c; d).\)
\(\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}+\sqrt{{(x-c)}^2+{(y-d)}^2}=\sqrt{{(c-a)}^2+{(d-b)}^2}.\)
В левой части уравнения сумма расстояний от точки \(P\) с координатами \((x; y)\) до точек \(M(a; b)\) и \(N(c;d).\) В правой расстояние между точками \(M\) и \(N.\)
Пара чисел \((x; y)\) соответствует координатам любой точки этого отрезка.
Кратко это можно записать так: \(\left | PM \right |+\left|PN\right|=|MN|.\) Это значит, что точка \(P\) лежит на отрезке \([MN]. \)
