previous arrow
next arrow
Slider

«Базовые элементы» для решения задач с параметрами

В задачах с параметрами Профильного ЕГЭ по математике вам встретятся не только графики функций (в школьном смысле этого слова), но и множества точек на плоскости.

Вот несколько уравнений и неравенств, задающих окружность, круг, ромбик, отрезок. Заметим, что окружность или ромбик, хотя и задаются уравнениями, не являются графиками функций в школьном смысле этого слова. Чтобы лучше почувствовать эту разницу, повторите тему «Что такое функция».

Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике считаются одними из самых сложных. Однако на самом деле они похожи на конструктор, где вы собираете решение из готовых элементов. Чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отлично знать 5 типов элементарных функций и их графики. Преобразования графиков функций. И вот эти базовые элементы:

1. Уравнение x^2 + y^2 = R^2 задает окружность с центром в начале координат и радиусом \left | R \right | .

2. Уравнение {(x-a)}^2 + {(y-b)}^2 = R^2 задает окружность с центром в точке (a;b) и радиусом \left | R \right | .

3. Неравенство {(x-a)}^2 + {(y-b)}^2 \leq R^2 задает круг вместе с границей.

4. Уравнение y = \sqrt{(R^2-x^2)} задает верхнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом \left | R \right | .

5. Уравнение y = - \sqrt{(R^2-x^2)} задает нижнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом \left | R \right | .

6. Уравнение y = \sqrt{(x-a)^2}+ b=R^2 задает верхнюю полуокружность центром в точке (a; b) и радиусом \left | R \right | .

7. Уравнение a |x| + b | y| = c при положительных a, b и c задает ромбик, симметричный относительно начала координат.

8. Уравнение y =  |x-a| + |x-b| (сумма модулей) задает график следующего вида:

9. Расстояние между точками A (x_1; y_1) и B (x_2; y_2) находится по формуле:

AB=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2};

Координаты середины М отрезка АВ находятся по формуле:

x_m = \frac{x_1+x_2}{2}; y_m = \frac{y_1+y_2}{2}.

Уравнение отрезка [MN], концы отрезка M (a;b) и N (c;d).

\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}+\sqrt{{(x-c)}^2+{(y-d)}^2}=\sqrt{{(c-a)}^2+{(d-b)}^2}

В левой части уравнения сумма расстояний от точки P с координатами (x;y) до точек M(a; b) и N(c;d). В правой расстояние между точками M и N.

Пара чисел (x; y) соответствует координатам любой точки этого отрезка.

Кратко это можно записать так: \left | PM \right |+\left|PN\right|=|MN|. Это значит, что точка P лежит на отрезке [MN].