«Базовые элементы» для решения задач с параметрами

В задачах с параметрами Профильного ЕГЭ по математике вам встретятся не только графики функций (в школьном смысле этого слова), но и множества точек на плоскости.

Вот несколько уравнений и неравенств, задающих окружность, круг, ромбик, отрезок. Заметим, что окружность или ромбик, хотя и задаются уравнениями, не являются графиками функций в школьном смысле этого слова. Чтобы лучше почувствовать эту разницу, повторите тему «Что такое функция».

Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике считаются одними из самых сложных. Однако на самом деле они похожи на конструктор, где вы собираете решение из готовых элементов. Чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отлично знать 5 типов элементарных функций и их графики. Преобразования графиков функций. И вот эти базовые элементы:

1. Уравнение $x^2 + y^2 = R^2$ задает окружность с центром в начале координат и радиусом $\left | R \right | .$

2. Уравнение ${(x-a)}^2 + {(y-b)}^2 = R^2$ задает окружность с центром в точке (a;b) и радиусом $\left | R \right | .$

3. Неравенство ${(x-a)}^2 + {(y-b)}^2 \leq R^2$ задает круг вместе с границей.

4. Уравнение $y = \sqrt{(R^2-x^2)}$ задает верхнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом $\left | R \right | .$

5. Уравнение $y = - \sqrt{(R^2-x^2)}$ задает нижнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом $\left | R \right | .$

6. Уравнение $y = \sqrt{(x-a)^2}+ b=R^2$ задает верхнюю полуокружность центром в точке $(a; b)$ и радиусом $\left | R \right | .$

7. Уравнение $a |x| + b | y| = c$ при положительных $a, b$ и $c$ задает ромбик, симметричный относительно начала координат.

8. Уравнение $y = |x-a| + |x-b|$ (сумма модулей) задает график следующего вида:

9. Расстояние между точками $A (x_1; y_1)$ и $B (x_2; y_2)$ находится по формуле:

$AB=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2};$

Координаты середины М отрезка АВ находятся по формуле:

$x_m = \frac{x_1+x_2}{2};$ $y_m = \frac{y_1+y_2}{2}.$

Уравнение отрезка $[MN],$ концы отрезка $M (a;b)$ и $N (c;d).$

$\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}+\sqrt{{(x-c)}^2+{(y-d)}^2}=\sqrt{{(c-a)}^2+{(d-b)}^2}$

В левой части уравнения сумма расстояний от точки P с координатами $(x;y)$ до точек $M(a; b)$ и $N(c;d).$ В правой расстояние между точками $M$ и $N.$

Пара чисел $(x; y)$ соответствует координатам любой точки этого отрезка.

«Базовые» элементы для решения задач с параметрами

Это полезно